Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Considere la función $f(x) = e^{3x-2}$.

a) Determine las coordenadas del punto en el cual la tangente a la gráfica de la función $y = f(x)$ tiene pendiente igual a $3/e$. Escriba la ecuación de esa recta tangente. [4 puntos]

b) Calcule el $\lim_{x \to 2/3} \dfrac{1 - f(x)}{6x - 4}$. [2 puntos]

c) Haga un esbozo de la gráfica de la función $y = f(x)$. [2 puntos]

d) Calcule el área de la superficie limitada por la gráfica de la función $y = f(x)$ y las rectas $x = 0$ e $y = 1$. [2 puntos]

$\textbf{a) Determine las coordenadas del punto en el cual la tangente a la gráfica de la función } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ tiene pendiente igual a } \boldsymbol{3/e}\textbf{. Escriba la ecuación de esa recta tangente. [4 puntos]}$

La pendiente de la tangente en un punto es el valor de la derivada, así que igualamos la derivada al valor pedido y despejamos la abscisa.

$f'(x)=3e^{3x-2}$

$3e^{3x-2}=\dfrac{3}{e}\Rightarrow e^{3x-2}=e^{-1}$

Como la exponencial es inyectiva, basta igualar los exponentes:

$3x-2=-1\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}$

$f\left(\dfrac{1}{3}\right)=e^{3\cdot\frac{1}{3}-2}=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$

El punto es $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{e}\right)$. Escribimos la tangente en forma punto-pendiente:

$y-\dfrac{1}{e}=\dfrac{3}{e}\left(x-\dfrac{1}{3}\right)$

$y=\dfrac{3}{e}x-\dfrac{1}{e}+\dfrac{1}{e}=\dfrac{3}{e}x$

La recta tangente es $y=\dfrac{3}{e}x$, que pasa por el origen.

$\textbf{b) Calcule el } \boldsymbol{\lim_{x \to 2/3} \dfrac{1 - f(x)}{6x - 4}}\textbf{. [2 puntos]}$

Sustituimos primero para identificar la indeterminación.

$\lim_{x\to 2/3}\dfrac{1-e^{3x-2}}{6x-4}=\dfrac{1-e^{0}}{4-4}=\dfrac{0}{0}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado:

$\lim_{x\to 2/3}\dfrac{-3e^{3x-2}}{6}=\dfrac{-3e^{0}}{6}=-\dfrac{1}{2}$

El límite vale $-\dfrac{1}{2}$.

$\textbf{c) Haga un esbozo de la gráfica de la función } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{. [2 puntos]}$

Se trata de una exponencial, de modo que basta con reunir los rasgos que la determinan.

$\text{Dom}\,f=\mathbb{R},\qquad f(x)=e^{3x-2}>0\ \ \forall x$

$f'(x)=3e^{3x-2}>0\Rightarrow f\ \text{es creciente en todo}\ \mathbb{R}$

$\lim_{x\to -\infty}e^{3x-2}=0,\qquad \lim_{x\to +\infty}e^{3x-2}=+\infty$

La recta $y=0$ es asíntota horizontal por la izquierda y no hay cortes con el eje de abscisas. El corte con el eje de ordenadas es $f(0)=e^{-2}\approx 0{,}135$, y la curva vale 1 cuando $3x-2=0$, es decir, en $x=\frac{2}{3}$.



$\textbf{d) Calcule el área de la superficie limitada por la gráfica de la función } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ e } \boldsymbol{y = 1}\textbf{. [2 puntos]}$

El recinto está limitado a la izquierda por el eje de ordenadas y por arriba por la recta $y=1$, que corta a la curva en $x=\frac{2}{3}$, según acabamos de ver. Entre $0$ y $\frac{2}{3}$ la exponencial va por debajo de la recta.

$\mathcal{A}=\int_{0}^{2/3}\left(1-e^{3x-2}\right)dx$

$\mathcal{A}=\left[x-\dfrac{e^{3x-2}}{3}\right]_{0}^{2/3}$

$\mathcal{A}=\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{e^{0}}{3}\right)-\left(0-\dfrac{e^{-2}}{3}\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{e^{-2}}{3}$

$\mathcal{A}=\dfrac{1+e^{-2}}{3}\approx 0{,}378$

El área de la superficie es $\dfrac{1+e^{-2}}{3}\approx 0{,}38$ unidades de área.