Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a$,

$\left.\begin{array}{l} 3x - 2y = 4 \\ ay = -3 \\ ax + 3z = 0 \end{array}\right\}$

a) Discuta el sistema según el parámetro $a$. [4 puntos]

b) Para el valor del parámetro $a$ para el cual el sistema tiene solución, resuélvalo. [6 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema según el parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. [4 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, empezando por el determinante de la matriz de coeficientes. Desarrollamos por la segunda fila, que tiene dos ceros.

$A=\begin{pmatrix}3&-2&0\\ 0&a&0\\ a&0&3\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}3&-2&0&4\\ 0&a&0&-3\\ a&0&3&0\end{array}\right)$

$|A|=a\begin{vmatrix}3&0\\ a&3\end{vmatrix}=a\cdot 9=9a$

$|A|=0\Rightarrow a=0$

Si $a\neq 0$, entonces $|A|\neq 0$ y

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado.

Si $a=0$, la segunda ecuación queda $0=-3$, que es imposible. Lo confirmamos con los rangos:

$A=\begin{pmatrix}3&-2&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3\end{pmatrix}\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

$\begin{vmatrix}3&0&4\\ 0&0&-3\\ 0&3&0\end{vmatrix}=3\cdot\begin{vmatrix}0&-3\\3&0\end{vmatrix}=27\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A^{*})=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\neq 0$ e incompatible para $a=0$.

$\textbf{b) Para el valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para el cual el sistema tiene solución, resuélvalo. [6 puntos]}$

Resolvemos, pues, para $a\neq 0$. La segunda ecuación da directamente una incógnita y las otras dos se despejan en cadena.

$ay=-3\Rightarrow y=-\dfrac{3}{a}$

$3x-2y=4\Rightarrow 3x=4+2y=4-\dfrac{6}{a}\Rightarrow x=\dfrac{4a-6}{3a}$

$ax+3z=0\Rightarrow 3z=-ax=-a\cdot\dfrac{4a-6}{3a}=\dfrac{6-4a}{3}$

$z=\dfrac{6-4a}{9}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4a}{9}$

Para cualquier valor no nulo del parámetro, la solución única del sistema es

$(x,y,z)=\left(\dfrac{4a-6}{3a},\ -\dfrac{3}{a},\ \dfrac{6-4a}{9}\right)$