Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Sean las matrices

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 6 & -3 & -4 \\ -3 & 2 & 1 \\ -4 & 1 & 5 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$

y $\lambda$ un parámetro real cualquiera.

a) Calcule la matriz $\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}$. [2 puntos]

b) Calcule la matriz $(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})^2$. [3 puntos]

c) Calcule, si existen, los valores del parámetro $\lambda$ para los cuales se satisface la relación $(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})^2 = \mathbf{B}$. [5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la matriz } \boldsymbol{\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}}\textbf{. [2 puntos]}$

Restar $\lambda\mathbf{I}$ solo afecta a la diagonal principal, porque la identidad tiene ceros fuera de ella.

$\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\lambda&1&1\\ 1&1-\lambda&0\\ 1&0&-\lambda\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Calcule la matriz } \boldsymbol{(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})^2}\textbf{. [3 puntos]}$

Multiplicamos la matriz anterior por sí misma, fila por columna.

$(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})^2=\begin{pmatrix}-\lambda&1&1\\ 1&1-\lambda&0\\ 1&0&-\lambda\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\lambda&1&1\\ 1&1-\lambda&0\\ 1&0&-\lambda\end{pmatrix}$

$(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})^2=\begin{pmatrix}\lambda^2+2&1-2\lambda&-2\lambda\\ 1-2\lambda&(1-\lambda)^2+1&1\\ -2\lambda&1&\lambda^2+1\end{pmatrix}$

$\textbf{c) Calcule, si existen, los valores del parámetro } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ para los cuales se satisface la relación } \boldsymbol{(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})^2 = \mathbf{B}}\textbf{. [5 puntos]}$

Dos matrices son iguales cuando coinciden elemento a elemento, de modo que igualamos posición por posición y buscamos un valor de $\lambda$ que cumpla todas las condiciones a la vez.

$\begin{pmatrix}\lambda^2+2&1-2\lambda&-2\lambda\\ 1-2\lambda&(1-\lambda)^2+1&1\\ -2\lambda&1&\lambda^2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-3&-4\\ -3&2&1\\ -4&1&5\end{pmatrix}$

Empezamos por la más sencilla, la de la esquina superior derecha:

$-2\lambda=-4\Rightarrow \lambda=2$

Comprobamos que ese valor satisface todas las demás igualdades:

$\lambda^2+2=4+2=6$

$1-2\lambda=1-4=-3$

$(1-\lambda)^2+1=(1-2)^2+1=1+1=2$

$\lambda^2+1=4+1=5$

Las posiciones que valen 1 lo hacen para cualquier $\lambda$, así que no imponen nada. Todas las condiciones se cumplen simultáneamente.

Existe un único valor, $\lambda=2$, para el cual $(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})^2=\mathbf{B}$.