Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

a) En un examen de tecnología, ¿cuál es la probabilidad de sacar una nota entre 5 y 7 si se sabe que las notas siguen una distribución normal de media 6 y desviación típica 2? [5 puntos]

b) En un examen de filosofía, el 35 % de los alumnos presentados obtuvo una nota mayor que 6, mientras que el 51 % obtuvo una menor que 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, determine cuál es su media $\mu$ y su desviación típica $\sigma$. [5 puntos]

$\textbf{a) En un examen de tecnología, ¿cuál es la probabilidad de sacar una nota entre 5 y 7 si se sabe que las notas siguen una distribución normal de media 6 y desviación típica 2? [5 puntos]}$

Llamamos $X$ a la nota del examen de tecnología, que sigue una $N(6;\,2)$. Tipificamos los dos extremos del intervalo para poder usar la tabla.

$Z=\dfrac{X-6}{2}\sim N(0,1)$

$P(5<X<7)=P\left(\dfrac{5-6}{2}<Z<\dfrac{7-6}{2}\right)=P(-0{,}5<Z<0{,}5)$

Los dos extremos son opuestos, así que el intervalo está centrado en la media y podemos usar la simetría de la campana:

$P(-0{,}5<Z<0{,}5)=2\,\Phi(0{,}5)-1=2\cdot 0{,}6915-1=0{,}3830$

La probabilidad de sacar una nota entre 5 y 7 es $0{,}3830$, es decir, un $38{,}30\%$.



$\textbf{b) En un examen de filosofía, el 35 \% de los alumnos presentados obtuvo una nota mayor que 6, mientras que el 51 \% obtuvo una menor que 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, determine cuál es su media } \boldsymbol{\mu}\textbf{ y su desviación típica } \boldsymbol{\sigma}\textbf{. [5 puntos]}$

Llamamos $Y$ a la nota de filosofía, con $Y\sim N(\mu,\sigma)$. Cada dato, una vez tipificado, da una ecuación con las dos incógnitas.

$P(Y>6)=0{,}35\Rightarrow P(Y<6)=0{,}65\Rightarrow \Phi\left(\dfrac{6-\mu}{\sigma}\right)=0{,}65$

$\Phi(z_1)=0{,}65\Rightarrow z_1\approx 0{,}39\Rightarrow \dfrac{6-\mu}{\sigma}=0{,}39$

$P(Y<4)=0{,}51\Rightarrow \Phi\left(\dfrac{4-\mu}{\sigma}\right)=0{,}51$

$\Phi(z_2)=0{,}51\Rightarrow z_2\approx 0{,}03\Rightarrow \dfrac{4-\mu}{\sigma}=0{,}03$

Los dos valores tipificados son positivos, lo que ya avisa de que la media queda por debajo de 4. Resolvemos el sistema restando las dos ecuaciones, escritas sin denominadores:

$\begin{cases}6-\mu=0{,}39\,\sigma\\ 4-\mu=0{,}03\,\sigma\end{cases}$

$2=0{,}36\,\sigma\Rightarrow \sigma=\dfrac{2}{0{,}36}\approx 5{,}56$

$\mu=4-0{,}03\cdot 5{,}56=4-0{,}17\approx 3{,}83$

Las notas de filosofía siguen aproximadamente una distribución $N(3{,}83;\ 5{,}56)$: la media es de 3,83 puntos y la desviación típica, de 5,56 puntos, un valor muy alto que indica una dispersión enorme de las calificaciones.