Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule la integral de la función $f(x) = \dfrac{x^4 + 2x - 6}{x^2 + x - 2}$. [10 puntos]

$\textbf{Calcule la integral de la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{x^4 + 2x - 6}{x^2 + x - 2}}\textbf{. [10 puntos]}$

Se trata de una función racional cuyo numerador tiene grado mayor que el denominador, de modo que lo primero es efectuar la división para separar la parte entera.

$x^4+2x-6=(x^2+x-2)(x^2-x+3)-3x$

$\dfrac{x^4+2x-6}{x^2+x-2}=x^2-x+3+\dfrac{-3x}{x^2+x-2}$

La parte entera se integra directamente. Para el resto descomponemos en fracciones simples, factorizando antes el denominador.

$x^2+x-2=0\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2}\Rightarrow \begin{cases}x=1\\ x=-2\end{cases}$

$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

$\dfrac{-3x}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$

$-3x=A(x+2)+B(x-1)$

$x=1\Rightarrow -3=3A\Rightarrow A=-1$

$x=-2\Rightarrow 6=-3B\Rightarrow B=-2$

Ya podemos integrar término a término:

$\int f(x)\,dx=\int\left(x^2-x+3\right)dx-\int\dfrac{1}{x-1}\,dx-\int\dfrac{2}{x+2}\,dx$

$\int\left(x^2-x+3\right)dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+3x$

$\int\dfrac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1|,\qquad \int\dfrac{2}{x+2}\,dx=2\ln|x+2|$

$\int f(x)\,dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+3x-\ln|x-1|-2\ln|x+2|+C$

Esa es la integral pedida, definida para todo $x$ distinto de $1$ y de $-2$, que son los puntos donde se anula el denominador.