Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sea el plano $\pi : 3x + y + z = 2$ y los puntos $P = (0, 1, 1)$ y $Q = (2, -1, -3)$.

a) ¿Son $P$ y $Q$ puntos del plano $\pi$? Justifique la respuesta. [2 puntos]

b) Calcule el punto $S$ situado sobre la recta $PQ$ que se encuentra a 3/4 partes de $P$ y a 1/4 parte de $Q$. [4 puntos]

c) Determine la ecuación implícita (también llamada cartesiana) de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$. [4 puntos]

$\textbf{a) ¿Son } \boldsymbol{P}\textbf{ y } \boldsymbol{Q}\textbf{ puntos del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{? Justifique la respuesta. [2 puntos]}$

Un punto pertenece a un plano si sus coordenadas verifican la ecuación, así que basta sustituir.

$P(0,1,1):\quad 3\cdot 0+1+1=2$

$Q(2,-1,-3):\quad 3\cdot 2-1-3=6-4=2$

Los dos puntos verifican la ecuación $3x+y+z=2$, luego sí, tanto $P$ como $Q$ pertenecen al plano $\pi$. En consecuencia, toda la recta $PQ$ está contenida en él.



$\textbf{b) Calcule el punto } \boldsymbol{S}\textbf{ situado sobre la recta } \boldsymbol{PQ}\textbf{ que se encuentra a 3/4 partes de } \boldsymbol{P}\textbf{ y a 1/4 parte de } \boldsymbol{Q}\textbf{. [4 puntos]}$

Recorrer tres cuartas partes del camino de $P$ a $Q$ significa sumar a $P$ tres cuartos del vector $\overrightarrow{PQ}$.

$\overrightarrow{PQ}=(2,-1,-3)-(0,1,1)=(2,-2,-4)$

$S=P+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{PQ}=(0,1,1)+\dfrac{3}{4}(2,-2,-4)$

$S=(0,1,1)+\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2},-3\right)=\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2},-2\right)$

El punto pedido es $S\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},-2\right)$, que como comprobación también pertenece al plano: $\frac{9}{2}-\frac{1}{2}-2=2$.

$\textbf{c) Determine la ecuación implícita (también llamada cartesiana) de la recta que pasa por } \boldsymbol{P}\textbf{ y es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [4 puntos]}$

Una recta perpendicular a un plano tiene por vector director el normal del plano, que se lee de los coeficientes de su ecuación general.

$\vec n_{\pi}=(3,1,1)$

$s:\begin{cases}x=3t\\ y=1+t\\ z=1+t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}$

La ecuación implícita se obtiene eliminando el parámetro. De la primera ecuación, $t=\frac{x}{3}$, y sustituyendo en las otras dos:

$y=1+\dfrac{x}{3}\Rightarrow 3y=3+x\Rightarrow x-3y+3=0$

$z=1+\dfrac{x}{3}\Rightarrow 3z=3+x\Rightarrow x-3z+3=0$

$s:\begin{cases}x-3y+3=0\\ x-3z+3=0\end{cases}$

La recta perpendicular al plano por el punto $P$ es la intersección de esos dos planos; obsérvese que restando las dos ecuaciones queda $y=z$, que también sirve como segunda ecuación.