Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Sea el sistema

$\begin{cases} mx + y - z = 1, \\ 2x + my = 1, \\ x + mz = 0. \end{cases}$

a) Discuta el número de soluciones que tiene el sistema según el parámetro $m$. [7 puntos]

b) Resuelva el sistema para el caso $m = 1$. [3 puntos]

$\textbf{a) Discuta el número de soluciones que tiene el sistema según el parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{. [7 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, porque mientras no se anule el sistema es compatible determinado.

$A=\begin{pmatrix}m&1&-1\\ 2&m&0\\ 1&0&m\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}m&1&-1&1\\ 2&m&0&1\\ 1&0&m&0\end{array}\right)$

$|A|=m(m\cdot m-0)-1(2m-0)+(-1)(0-m)=m^3-2m+m=m^3-m$

$|A|=0\Rightarrow m(m-1)(m+1)=0\Rightarrow m=0,\ m=1,\ m=-1$

Si $m\neq 0$, $m\neq 1$ y $m\neq -1$, entonces

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

y el sistema es compatible determinado: tiene solución única.

Si $m=0$:

$A=\begin{pmatrix}0&1&-1\\ 2&0&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}$

La tercera fila es la mitad de la segunda, así que el rango baja. Con la primera y la segunda:

$\begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}=-2\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

En la ampliada orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}0&1&1\\ 2&0&1\\ 1&0&0\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A^{*})=3$

Los rangos no coinciden, luego el sistema es incompatible: no tiene solución.

Si $m=1$:

$\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=1-2=-1\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

$\begin{vmatrix}1&1&1\\ 2&1&1\\ 1&0&0\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0\Rightarrow \operatorname{rg}(A^{*})=2$

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3$

El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

Si $m=-1$:

$\begin{vmatrix}-1&1\\2&-1\end{vmatrix}=1-2=-1\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

$\begin{vmatrix}-1&1&1\\ 2&-1&1\\ 1&0&0\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=2\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A^{*})=3$

El sistema es incompatible.

En resumen: el sistema tiene solución única para todo $m$ distinto de $0$, $1$ y $-1$; tiene infinitas soluciones para $m=1$; y no tiene ninguna para $m=0$ y $m=-1$.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para el caso } \boldsymbol{m = 1}\textbf{. [3 puntos]}$

Para $m=1$ el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, de modo que nos quedamos con las dos ecuaciones del menor no nulo y pasamos la tercera incógnita al segundo miembro como parámetro.

$\begin{cases}x+y-z=1\\ 2x+y=1\\ x+z=0\end{cases}$

De la tercera ecuación, $x=-z$. Tomamos $z=\lambda$ como parámetro:

$x=-\lambda$

$2(-\lambda)+y=1\Rightarrow y=1+2\lambda$

Comprobamos en la primera ecuación, que es la que ha quedado libre:

$-\lambda+(1+2\lambda)-\lambda=1$

Se cumple para todo $\lambda$, como corresponde a un sistema compatible indeterminado. Las soluciones son

$(x,y,z)=(-\lambda,\ 1+2\lambda,\ \lambda),\quad \lambda\in\mathbb{R}$