Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

El peso de los recién nacidos sigue una distribución normal de media $\mu = 3{,}1$ kg y desviación típica $\sigma$ desconocida. Se sabe que solo el 30,5 % de los recién nacidos pesa más de 3,8 kg. Calcule, redondeando los resultados a 4 decimales:

a) ¿Cuál es la desviación típica? [4 puntos]

b) Suponiendo que $\sigma = 1{,}3725$, ¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,7 kg? [3 puntos]

c) Suponiendo que $\sigma = 1{,}3725$, ¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese entre 2,7 y 3,5 kg? [3 puntos]

Llamamos $X$ al peso, en kilogramos, de un recién nacido.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(3{,}1;\ \sigma)$

$\textbf{a) ¿Cuál es la desviación típica? [4 puntos]}$

Es un problema inverso: se conoce la probabilidad y se busca el parámetro. Tipificamos dejando $\sigma$ como incógnita y pasamos al complementario para poder usar la tabla.

$P(X>3{,}8)=0{,}305\Rightarrow P(X<3{,}8)=1-0{,}305=0{,}695$

$P\left(Z<\dfrac{3{,}8-3{,}1}{\sigma}\right)=0{,}695$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja acumulado $0{,}695$:

$\Phi(z_0)=0{,}695\Rightarrow z_0\approx 0{,}51$

$\dfrac{0{,}7}{\sigma}=0{,}51\Rightarrow \sigma=\dfrac{0{,}7}{0{,}51}=1{,}3725$

La desviación típica es $\sigma\approx 1{,}3725\ \text{kg}$.



$\textbf{b) Suponiendo que } \boldsymbol{\sigma = 1{,}3725}\textbf{, ¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,7 kg? [3 puntos]}$

Tipificamos el valor 2,7 y usamos la simetría de la campana, ya que el valor tipificado sale negativo.

$P(X<2{,}7)=P\left(Z<\dfrac{2{,}7-3{,}1}{1{,}3725}\right)=P(Z<-0{,}29)$

$P(Z<-0{,}29)=1-\Phi(0{,}29)=1-0{,}6141=0{,}3859$

La probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,7 kg es $0{,}3859$.

$\textbf{c) Suponiendo que } \boldsymbol{\sigma = 1{,}3725}\textbf{, ¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese entre 2,7 y 3,5 kg? [3 puntos]}$

Tipificamos los dos extremos. Como 2,7 y 3,5 están a la misma distancia de la media, los valores tipificados son opuestos y el intervalo queda centrado en la campana.

$P(2{,}7<X<3{,}5)=P\left(\dfrac{2{,}7-3{,}1}{1{,}3725}<Z<\dfrac{3{,}5-3{,}1}{1{,}3725}\right)$

$=P(-0{,}29<Z<0{,}29)=2\,\Phi(0{,}29)-1$

$=2\cdot 0{,}6141-1=0{,}2282$

La probabilidad de que un recién nacido pese entre 2,7 y 3,5 kg es $0{,}2282$.