Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

La cantidad de toneladas de agua infectada por una bacteria se espera que siga la función $f(x) = e^{-x} + 0{,}15x + 1$, siendo $x \ge 0$ los días de infección y $f(x)$ las toneladas de agua infectada.

a) ¿Cuántas toneladas de agua había inicialmente infectadas por la bacteria? ¿Hacia qué valor tiende la cantidad de agua infectada? Interprete los resultados. [4 puntos]

b) ¿En qué momento hay menos cantidad de agua infectada? ¿Cuántas toneladas hay en ese momento? [4 puntos]

c) ¿Hay algún momento en que el agua no esté infectada? Justifique la respuesta. [2 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuántas toneladas de agua había inicialmente infectadas por la bacteria? ¿Hacia qué valor tiende la cantidad de agua infectada? Interprete los resultados. [4 puntos]}$

La cantidad inicial es el valor de la función en el instante $x=0$, y el comportamiento a largo plazo, su límite en el infinito.

$f(0)=e^{0}+0{,}15\cdot 0+1=1+1=2$

$\lim_{x\to +\infty}\left(e^{-x}+0{,}15x+1\right)=0+\infty+1=+\infty$

Inicialmente había 2 toneladas de agua infectada. A largo plazo la cantidad tiende a infinito: el término exponencial se apaga enseguida y manda el término lineal $0{,}15x$, de modo que la infección acaba creciendo sin límite a un ritmo de 0,15 toneladas por día.

$\textbf{b) ¿En qué momento hay menos cantidad de agua infectada? ¿Cuántas toneladas hay en ese momento? [4 puntos]}$

El mínimo de una función derivable se busca entre los puntos que anulan su derivada.

$f'(x)=-e^{-x}+0{,}15$

$f'(x)=0\Rightarrow e^{-x}=0{,}15\Rightarrow -x=\ln(0{,}15)\Rightarrow x=\ln\dfrac{20}{3}\approx 1{,}897$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un mínimo:

$f''(x)=e^{-x}>0\quad \forall x$

La segunda derivada es positiva en todo el dominio, luego la función es convexa y el único punto crítico es un mínimo absoluto.



$f\left(\ln\dfrac{20}{3}\right)=0{,}15+0{,}15\cdot 1{,}897+1\approx 1{,}435$

La cantidad de agua infectada es mínima a los $\ln\frac{20}{3}\approx 1{,}90$ días, y en ese momento hay unas 1,435 toneladas de agua infectada.

$\textbf{c) ¿Hay algún momento en que el agua no esté infectada? Justifique la respuesta. [2 puntos]}$

Que el agua no estuviera infectada significaría que la función se anula, así que basta comparar el valor mínimo con cero: si el mínimo es positivo, la función no llega nunca al eje.

$f(x)\ge f\left(\ln\dfrac{20}{3}\right)\approx 1{,}435>0\quad \forall x\ge 0$

No, no hay ningún momento en que el agua no esté infectada: por el apartado anterior el valor más bajo que alcanza la función es de unas 1,435 toneladas, de modo que siempre queda agua infectada.