Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean $a$ y $b$ dos constantes reales no nulas. Considere el plano $\pi : x + ay - 2z = 3$ y la recta

$r : \begin{cases} x + bz = 1, \\ y = 0. \end{cases}$

a) ¿Para qué valores de $a$ y $b$ la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$? Para esos casos concretos, calcule el punto de corte entre $r$ y $\pi$, y calcule o justifique cuál es la distancia de la recta al plano. [4 puntos]

b) ¿Para qué valores de $a$ y $b$ la recta $r$ es paralela al plano $\pi$? [3 puntos]

c) ¿Existen algunos valores de $a$ y $b$ para los cuales la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$? [3 puntos]

$\textbf{a) ¿Para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{? Para esos casos concretos, calcule el punto de corte entre } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi}\textbf{, y calcule o justifique cuál es la distancia de la recta al plano. [4 puntos]}$

Necesitamos primero un vector director de la recta. Al venir dada como intersección de dos planos, ese vector es el producto vectorial de sus dos vectores normales.

$\vec v_r=(1,0,b)\times(0,1,0)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&0&b\\0&1&0\end{vmatrix}=(-b,0,1)$

$\vec n_{\pi}=(1,a,-2)$

Que la recta sea perpendicular al plano equivale a que su vector director sea paralelo al normal del plano, es decir, a que sus componentes sean proporcionales.

$(-b,0,1)=k\,(1,a,-2)$

De la tercera componente, $1=-2k\Rightarrow k=-\frac{1}{2}$, que no es nulo. Llevándolo a la segunda:

$0=k\,a=-\dfrac{a}{2}\Rightarrow a=0$

Y de la primera, $-b=k=-\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{1}{2}$.

La única posibilidad exige $a=0$, pero el enunciado dice que $a$ y $b$ son constantes no nulas. No hay, por tanto, ningún par de valores admisibles: con las hipótesis del enunciado la recta $r$ nunca puede ser perpendicular al plano $\pi$, y el punto de corte y la distancia quedan sin objeto.

Si se prescinde de esa restricción y se admite $a=0$, $b=\frac{1}{2}$, el plano es $\pi:x-2z=3$ y la recta, en paramétricas,

$r:\begin{cases}x=1-\frac{1}{2}t\\ y=0\\ z=t\end{cases}$

$\left(1-\dfrac{t}{2}\right)-2t=3\Rightarrow -\dfrac{5t}{2}=2\Rightarrow t=-\dfrac{4}{5}$

$Q\left(\dfrac{7}{5},\,0,\,-\dfrac{4}{5}\right)$

y la distancia de la recta al plano es nula, porque una recta perpendicular a un plano siempre lo corta.

$\textbf{b) ¿Para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ es paralela al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{? [3 puntos]}$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al normal del plano, es decir, cuando el producto escalar de ambos se anula, y además la recta no está contenida en el plano.

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=(-b)\cdot 1+0\cdot a+1\cdot(-2)=-b-2$

$-b-2=0\Rightarrow b=-2$

El parámetro $a$ no interviene en esta condición, así que sirve cualquier valor no nulo. Comprobamos que la recta no queda dentro del plano tomando su punto de $z=0$, que es $(1,0,0)$:

$1+a\cdot 0-2\cdot 0=1\neq 3$

El punto no pertenece al plano sea cual sea $a$, luego la recta es paralela al plano y no está contenida en él.

La recta $r$ es paralela al plano $\pi$ para $b=-2$ y cualquier valor no nulo de $a$.



$\textbf{c) ¿Existen algunos valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para los cuales la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ está contenida en el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{? [3 puntos]}$

Para que la recta esté contenida en el plano hacen falta dos cosas: que sus direcciones sean compatibles, lo que ya vimos que obliga a $b=-2$, y que además algún punto de la recta pertenezca al plano.

$(1,0,0)\in r$

$1+a\cdot 0-2\cdot 0=1\neq 3$

La igualdad no se cumple para ningún valor de $a$, porque el parámetro va multiplicado por $y=0$ y desaparece.

No existen valores de $a$ y $b$ para los que la recta esté contenida en el plano: cuando las direcciones son compatibles la recta queda siempre fuera, paralela a él.