Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Considere el plano $\pi : 2x + 3y + z - 6 = 0$.

a) Determine los vértices del triángulo que viene determinado por la intersección del plano con los ejes de coordenadas. [3 puntos]

b) Calcule el área de ese triángulo. [3 puntos]

c) Sea $A$ el vértice del triángulo situado sobre el eje de abscisas (eje $OX$). Calcule la recta perpendicular al plano que pasa por $A$. [4 puntos]

$\textbf{a) Determine los vértices del triángulo que viene determinado por la intersección del plano con los ejes de coordenadas. [3 puntos]}$

Cada eje se caracteriza por tener nulas las otras dos coordenadas, así que basta imponer esa condición en la ecuación del plano y despejar la que queda.

Corte con el eje $OX$ ($y=z=0$):

$2x-6=0\Rightarrow x=3\Rightarrow A(3,0,0)$

Corte con el eje $OY$ ($x=z=0$):

$3y-6=0\Rightarrow y=2\Rightarrow B(0,2,0)$

Corte con el eje $OZ$ ($x=y=0$):

$z-6=0\Rightarrow z=6\Rightarrow C(0,0,6)$

Los vértices del triángulo son $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(0,0,6)$.



$\textbf{b) Calcule el área de ese triángulo. [3 puntos]}$

El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados, tomados desde un mismo vértice.

$\overrightarrow{AB}=(0,2,0)-(3,0,0)=(-3,2,0)$

$\overrightarrow{AC}=(0,0,6)-(3,0,0)=(-3,0,6)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-3&2&0\\-3&0&6\end{vmatrix}=(12,18,6)$

$|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{12^2+18^2+6^2}=\sqrt{144+324+36}=\sqrt{504}=6\sqrt{14}$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\sqrt{14}=3\sqrt{14}\approx 11{,}22$

El área del triángulo es $3\sqrt{14}\approx 11{,}22$ unidades de área.

$\textbf{c) Sea } \boldsymbol{A}\textbf{ el vértice del triángulo situado sobre el eje de abscisas (eje } \boldsymbol{OX}\textbf{). Calcule la recta perpendicular al plano que pasa por } \boldsymbol{A}\textbf{. [4 puntos]}$

Una recta perpendicular a un plano tiene por vector director el vector normal de ese plano, que se lee directamente de los coeficientes de la ecuación general.

$\vec n_{\pi}=(2,3,1)$

Con ese vector y el punto $A(3,0,0)$ escribimos la recta en paramétricas:

$r:\begin{cases}x=3+2\lambda\\ y=3\lambda\\ z=\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

O bien en forma continua:

$r:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{1}$

La recta perpendicular al plano por el vértice $A$ es la de punto $A(3,0,0)$ y vector director $(2,3,1)$.