Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere las matrices

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},$

y sea $O$ la matriz nula de orden $2 \times 2$.

a) Calcule todas las matrices $X$ tales que $AX - X = B$. [4 puntos]

b) Encuentre una matriz $Y$ diferente de $O$ tal que $(A - B)Y = O$. [3 puntos]

c) Indique todas las matrices $Z$ que cumplen la igualdad $AZ = O$. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule todas las matrices } \boldsymbol{X}\textbf{ tales que } \boldsymbol{AX - X = B}\textbf{. [4 puntos]}$

Sacamos $X$ como factor común por la derecha, que es el lado por el que aparece en los dos términos.

$AX-X=B\Rightarrow AX-IX=B\Rightarrow (A-I)X=B$

$A-I=\begin{pmatrix}3&-1\\0&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\0&2\end{pmatrix}$

$|A-I|=4\neq 0$

Como el determinante no se anula, $A-I$ es invertible y la ecuación tiene solución única.

$(A-I)^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$

$X=(A-I)^{-1}B=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}5&3\\2&2\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}\frac{5}{4}&\frac{3}{4}\\[1mm] \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

Hay una única matriz que cumple la igualdad, precisamente porque $A-I$ es invertible.

$\textbf{b) Encuentre una matriz } \boldsymbol{Y}\textbf{ diferente de } \boldsymbol{O}\textbf{ tal que } \boldsymbol{(A - B)Y = O}\textbf{. [3 puntos]}$

Ahora la matriz que multiplica no es invertible, y eso es justamente lo que permite que existan soluciones distintas de la nula.

$A-B=\begin{pmatrix}3&-1\\0&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&2\end{pmatrix}$

$|A-B|=2-2=0$

Escribimos $Y=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}$ e imponemos la condición:

$\begin{pmatrix}1&-2\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p-2r&q-2s\\ -p+2r&-q+2s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Las cuatro ecuaciones se reducen a dos:

$p=2r,\qquad q=2s$

Tomando, por ejemplo, $r=s=1$:

$Y=\begin{pmatrix}2&2\\1&1\end{pmatrix}$

Se comprueba que $(A-B)Y=O$, y $Y$ no es la matriz nula.

$\textbf{c) Indique todas las matrices } \boldsymbol{Z}\textbf{ que cumplen la igualdad } \boldsymbol{AZ = O}\textbf{. [3 puntos]}$

Aquí ocurre lo contrario que en el apartado anterior: hay que mirar si $A$ es invertible.

$|A|=\begin{vmatrix}3&-1\\0&3\end{vmatrix}=9\neq 0$

Existe $A^{-1}$, y multiplicando por ella por la izquierda:

$A^{-1}AZ=A^{-1}O\Rightarrow Z=O$

La única matriz que cumple $AZ=O$ es la matriz nula: al ser $A$ regular, no hay divisores de cero por ese lado.