Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

El peso, en gramos, de las judías en lata se distribuye normalmente con media $\mu$ y desviación típica 7,8. Dado que el 10 % de estas latas contienen menos de 200 g, calcule:

a) El valor de la media $\mu$, redondeándola a las unidades. [6 puntos]

b) El porcentaje de latas que contienen más de 225 g de judías. Nota: emplee la media redondeada a las unidades. [2 puntos]

c) El porcentaje de latas que contienen entre 190 g y 225 g de judías. Nota: emplee la media redondeada a las unidades. [2 puntos]

Llamamos $X$ al peso, en gramos, de las judías de una lata. Sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7,8.

$X\sim N(\mu;\ 7{,}8)$

$\textbf{a) El valor de la media } \boldsymbol{\mu}\textbf{, redondeándola a las unidades. [6 puntos]}$

Este es el problema inverso al habitual: se conoce la probabilidad y se busca el valor de la variable. Tipificamos y usamos la tabla al revés.

$P(X<200)=0{,}10$

$P\left(Z<\dfrac{200-\mu}{7{,}8}\right)=0{,}10$

Como la probabilidad acumulada es menor que $0{,}5$, el valor tipificado es negativo. Buscamos en la tabla el valor positivo que deja acumulado $0{,}90$ y le cambiamos el signo:

$\Phi(z_0)=0{,}90\Rightarrow z_0\approx 1{,}28\Rightarrow \dfrac{200-\mu}{7{,}8}=-1{,}28$

$200-\mu=-9{,}984\Rightarrow \mu=209{,}984\approx 210$

La media del peso de las latas es de $210\ \text{g}$.



$\textbf{b) El porcentaje de latas que contienen más de 225 g de judías. Nota: emplee la media redondeada a las unidades. [2 puntos]}$

Con la media ya conocida tipificamos el valor 225 y pasamos al complementario, porque la tabla da probabilidades acumuladas por la izquierda.

$P(X>225)=P\left(Z>\dfrac{225-210}{7{,}8}\right)=P(Z>1{,}92)$

$P(Z>1{,}92)=1-\Phi(1{,}92)=1-0{,}9726=0{,}0274$

Aproximadamente el $2{,}74\%$ de las latas contienen más de 225 g de judías.

$\textbf{c) El porcentaje de latas que contienen entre 190 g y 225 g de judías. Nota: emplee la media redondeada a las unidades. [2 puntos]}$

Tipificamos ahora los dos extremos del intervalo y restamos las probabilidades acumuladas.

$P(190<X<225)=P\left(\dfrac{190-210}{7{,}8}<Z<\dfrac{225-210}{7{,}8}\right)$

$=P(-2{,}56<Z<1{,}92)=\Phi(1{,}92)-\Phi(-2{,}56)$

El extremo negativo se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\Phi(-2{,}56)=1-\Phi(2{,}56)=1-0{,}9948=0{,}0052$

$P(190<X<225)=0{,}9726-0{,}0052=0{,}9674$

Aproximadamente el $96{,}74\%$ de las latas contienen entre 190 g y 225 g de judías.