Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Resuelva los siguientes apartados:

a) Dada la función $f(x) = ax + b\sqrt{x}$, determine los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ alcanza su máximo en $x = 100$ y que pasa por el punto $(49, 91)$. [5 puntos]

b) Dada la función

$g(x) = \dfrac{(x - 1)\sqrt{x}}{x^2 - 1},$

indique cuál es su dominio. ¿Es $g(x)$ una función continua en su dominio? Justifique la respuesta y, en caso negativo, indique qué tipo de discontinuidad presenta. [5 puntos]

$\textbf{a) Dada la función } \boldsymbol{f(x) = ax + b\sqrt{x}}\textbf{, determine los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ alcanza su máximo en } \boldsymbol{x = 100}\textbf{ y que pasa por el punto } \boldsymbol{(49, 91)}\textbf{. [5 puntos]}$

Cada dato da una ecuación: que haya un extremo en $x=100$ obliga a que la derivada se anule ahí, y que la gráfica pase por $(49,91)$, a que la función valga 91 en $x=49$.

$f'(x)=a+\dfrac{b}{2\sqrt{x}}$

$f'(100)=0\Rightarrow a+\dfrac{b}{2\cdot 10}=0\Rightarrow a+\dfrac{b}{20}=0\Rightarrow b=-20a$

$f(49)=91\Rightarrow 49a+b\sqrt{49}=91\Rightarrow 49a+7b=91$

Sustituimos la primera relación en la segunda:

$49a+7(-20a)=91\Rightarrow 49a-140a=91\Rightarrow -91a=91\Rightarrow a=-1$

$b=-20\cdot(-1)=20$

Falta comprobar que en $x=100$ hay realmente un máximo y no otro tipo de punto crítico. Con esos valores:

$f'(x)=-1+\dfrac{10}{\sqrt{x}}$

que es positiva cuando $\sqrt{x}<10$ y negativa cuando $\sqrt{x}>10$.



La función pasa de creciente a decreciente en $x=100$, luego ahí hay un máximo, como pedía el enunciado. Los valores buscados son $a=-1$ y $b=20$, es decir, $f(x)=-x+20\sqrt{x}$.

$\textbf{b) Dada la función } \boldsymbol{g(x) = \dfrac{(x - 1)\sqrt{x}}{x^2 - 1}}\textbf{, indique cuál es su dominio. ¿Es } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ una función continua en su dominio? Justifique la respuesta y, en caso negativo, indique qué tipo de discontinuidad presenta. [5 puntos]}$

Hay dos restricciones: la raíz exige radicando no negativo y el denominador no puede anularse.

$\begin{cases}x\ge 0\\ x^2-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1\ \text{y}\ x\neq -1\end{cases}$

El valor $x=-1$ ya queda fuera por la primera condición, de modo que

$\text{Dom}\,g=[0,1)\cup(1,+\infty)$

En su dominio, $g$ es cociente de funciones continuas con denominador no nulo, luego es continua. Sí es continua en todo su dominio.

Conviene además estudiar qué ocurre en $x=1$, el punto que se ha excluido. Simplificando el factor común:

$g(x)=\dfrac{(x-1)\sqrt{x}}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1},\qquad x\neq 1$

$\lim_{x\to 1}g(x)=\dfrac{\sqrt{1}}{1+1}=\dfrac{1}{2}$

El límite existe y es finito, pero la función no está definida ahí. Se trata, por tanto, de una discontinuidad evitable: bastaría definir $g(1)=\frac{1}{2}$ para que la función fuese continua en todo $[0,+\infty)$.