Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Sean $P = (-1, 1, 1)$, $Q = (7, 1, 7)$ y $R = (-4, 1, 5)$ puntos de $\mathbb{R}^3$.

a) Demuestre que los tres puntos forman un triángulo rectángulo. Indique cuál de los 3 ángulos es recto. [3 puntos]

b) ¿Se podría construir un cuadrado añadiendo un único vértice nuevo? Justifique la respuesta. [3 puntos]

c) Pruebe que, para cualquier valor de $a$ real, el punto $S = (a, 1, 0)$ es coplanario con $P$, $Q$ y $R$. [4 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que los tres puntos forman un triángulo rectángulo. Indique cuál de los 3 ángulos es recto. [3 puntos]}$

Un triángulo es rectángulo cuando dos de sus lados son perpendiculares, y dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar se anula. Calculamos los vectores que salen de cada vértice y probamos.

$\overrightarrow{PQ}=(7,1,7)-(-1,1,1)=(8,0,6)$

$\overrightarrow{PR}=(-4,1,5)-(-1,1,1)=(-3,0,4)$

$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=8\cdot(-3)+0\cdot 0+6\cdot 4=-24+24=0$

El producto escalar es nulo, luego los lados $PQ$ y $PR$ son perpendiculares. Los tres puntos forman, pues, un triángulo rectángulo y el ángulo recto está en el vértice $P$.



$\textbf{b) ¿Se podría construir un cuadrado añadiendo un único vértice nuevo? Justifique la respuesta. [3 puntos]}$

Para que $P$, $Q$, $R$ y un cuarto punto formen un cuadrado harían falta dos condiciones: que los lados que salen del vértice recto sean perpendiculares —que ya lo son— y que además midan lo mismo. Medimos, pues, los dos catetos.

$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{8^2+0^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

$|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{(-3)^2+0^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

$10\neq 5$

No, no se podría. Los dos lados que concurren en el ángulo recto miden 10 y 5 unidades, y un cuadrado exige que sean iguales; añadiendo un cuarto vértice solo se obtiene un rectángulo, nunca un cuadrado.

$\textbf{c) Pruebe que, para cualquier valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ real, el punto } \boldsymbol{S = (a, 1, 0)}\textbf{ es coplanario con } \boldsymbol{P}\textbf{, } \boldsymbol{Q}\textbf{ y } \boldsymbol{R}\textbf{. [4 puntos]}$

Basta escribir el plano que determinan los tres puntos y comprobar que $S$ lo verifica sea cual sea $a$. Obtenemos un vector normal con el producto vectorial de las dos direcciones del apartado a).

$\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\8&0&6\\-3&0&4\end{vmatrix}=(0,-50,0)$

El vector normal solo tiene componente en $y$, así que el plano es horizontal en esa dirección. Imponiendo que pase por $P(-1,1,1)$:

$-50(y-1)=0\Rightarrow \pi:y=1$

Sustituimos ahora el punto $S(a,1,0)$:

$y_S=1$

La segunda coordenada de $S$ vale 1 cualquiera que sea $a$, de modo que $S$ pertenece al plano $\pi:y=1$ para todo valor real de $a$: los tres puntos de partida están todos a la misma altura $y=1$ y $S$ también.