Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

La duración de los embarazos humanos desde la concepción hasta el nacimiento se aproxima a una distribución normal con una media de 266 días y una desviación típica de 16 días.

a) ¿Qué proporción de todos los embarazos durará entre 240 y 270 días (aproximadamente entre 8 y 9 meses)? [4 puntos]

b) Si nos fijamos en el 70 % de los embarazos que más duran, ¿cuál es su duración? [6 puntos]

Llamamos $X$ a la duración de un embarazo, en días. Según el enunciado sigue una distribución normal de media 266 y desviación típica 16.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(266;\ 16)$

$\textbf{a) ¿Qué proporción de todos los embarazos durará entre 240 y 270 días (aproximadamente entre 8 y 9 meses)? [4 puntos]}$

Para poder usar la tabla de la normal tipificamos los dos extremos del intervalo, restando la media y dividiendo por la desviación típica.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-266}{16}\sim N(0,1)$

$P(240<X<270)=P\left(\dfrac{240-266}{16}<Z<\dfrac{270-266}{16}\right)$

$=P(-1{,}63<Z<0{,}25)=\Phi(0{,}25)-\Phi(-1{,}63)$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que el extremo negativo se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\Phi(-1{,}63)=1-\Phi(1{,}63)=1-0{,}9484=0{,}0516$

$P(240<X<270)=0{,}5987-0{,}0516=0{,}5471$

Aproximadamente el $54{,}71\%$ de los embarazos dura entre 240 y 270 días.



$\textbf{b) Si nos fijamos en el 70 \% de los embarazos que más duran, ¿cuál es su duración? [6 puntos]}$

Se busca el valor $k$ que deja por encima el 70 % de los embarazos, es decir, el que deja por debajo el 30 % restante. El problema es el inverso del anterior: ahora se conoce la probabilidad y se busca el valor de la variable.

$P(X>k)=0{,}70\Rightarrow P(X<k)=0{,}30$

$P\left(Z<\dfrac{k-266}{16}\right)=0{,}30$

Como la probabilidad es menor que $0{,}5$, el valor tipificado es negativo y hay que buscar en la tabla su opuesto:

$\Phi(z_0)=0{,}70\Rightarrow z_0\approx 0{,}52\Rightarrow \dfrac{k-266}{16}=-0{,}52$

$k=266-0{,}52\cdot 16=266-8{,}32=257{,}68$

El 70 % de los embarazos que más duran son los que superan los 257,7 días, es decir, unos 258 días.