Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea la función

$f(x) = \begin{cases} b e^{x} + a + 1, & x \le 0, \\ a x^2 + b(x + 3), & 0 < x \le 1, \\ a\cos(\pi x) + 7bx, & x > 1. \end{cases}$

a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para los cuales la función $f(x)$ es continua. [5 puntos]

b) Sean $a = 3$ y $b = 2$; calcule el área comprendida entre $x = -1$, $x = 0$ y el eje $OX$. [5 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para los cuales la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua. [5 puntos]}$

Cada uno de los tres trozos es continuo allí donde está definido, por ser combinación de exponenciales, polinomios y cosenos. Los únicos puntos dudosos son los de empalme, $x=0$ y $x=1$, y en ellos hay que imponer que los límites laterales coincidan con el valor de la función.

En $x=0$:

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=b\,e^{0}+a+1=a+b+1$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=a\cdot 0^2+b(0+3)=3b$

$a+b+1=3b\Rightarrow a+1=2b$

En $x=1$:

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=a\cdot 1^2+b(1+3)=a+4b$

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=a\cos(\pi)+7b=-a+7b$

$a+4b=-a+7b\Rightarrow 2a=3b$

Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones. De la segunda, $b=\frac{2a}{3}$, y sustituyendo en la primera:

$a+1=2\cdot\dfrac{2a}{3}=\dfrac{4a}{3}\Rightarrow 1=\dfrac{4a}{3}-a=\dfrac{a}{3}\Rightarrow a=3$

$b=\dfrac{2\cdot 3}{3}=2$

La función es continua únicamente para $a=3$ y $b=2$.

$\textbf{b) Sean } \boldsymbol{a = 3}\textbf{ y } \boldsymbol{b = 2}\textbf{; calcule el área comprendida entre } \boldsymbol{x = -1}\textbf{, } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ y el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{. [5 puntos]}$

En el intervalo $[-1,0]$ actúa la primera rama de la función, que con esos valores de los parámetros queda

$f(x)=2e^{x}+3+1=2e^{x}+4$

Antes de integrar comprobamos el signo: la exponencial es siempre positiva, de modo que $f(x)>4>0$ y no hace falta partir la integral.

$\mathcal{A}=\int_{-1}^{0}\left(2e^{x}+4\right)dx=\left[2e^{x}+4x\right]_{-1}^{0}$

$\mathcal{A}=\left(2e^{0}+0\right)-\left(2e^{-1}-4\right)=2-\dfrac{2}{e}+4$

$\mathcal{A}=6-\dfrac{2}{e}\approx 5{,}264$

El área comprendida entre la gráfica, el eje de abscisas y las rectas $x=-1$ y $x=0$ es $6-\frac{2}{e}\approx 5{,}26$ unidades de área.