Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Queremos hacer una valla en un campo rectangular empleando diferentes materiales en cada lado. Empezando por el fondo del campo y moviéndonos alrededor de este en el sentido contrario a las agujas del reloj, el coste del material para cada lado es de 6 €/m, 9 €/m, 12 €/m y 14 €/m, respectivamente. Si hemos de gastar exactamente 1000 € para comprar el material de cierre, determine las dimensiones del campo que maximizarán el área cercada. [10 puntos]

$\textbf{Si hemos de gastar exactamente 1000 € para comprar el material de cierre, determine las dimensiones del campo que maximizarán el área cercada. [10 puntos]}$

Llamamos $x$ a la longitud del lado del fondo y $y$ a la del lado contiguo, ambas en metros. Recorriendo el campo en sentido contrario a las agujas del reloj, los lados de longitud $x$ son el fondo (6 €/m) y el frente (12 €/m), y los de longitud $y$ son los dos laterales (9 €/m y 14 €/m).



El coste total es la suma de lo que cuesta cada lado, y el enunciado obliga a que valga exactamente 1000 €. Esa es la ligadura que relaciona las dos variables.

$6x+9y+12x+14y=1000$

$18x+23y=1000$

La función que hay que maximizar es el área del rectángulo. La expresamos en una sola variable despejando $y$ de la ligadura.

$y=\dfrac{1000-18x}{23}$

$S(x)=x\,y=\dfrac{1000x-18x^2}{23}$

El dominio son los valores de $x$ que dejan positivos los dos lados, es decir, $0<x<\frac{1000}{18}$. Buscamos los puntos críticos.

$S'(x)=\dfrac{1000-36x}{23}$

$S'(x)=0\Rightarrow 1000-36x=0\Rightarrow x=\dfrac{1000}{36}=\dfrac{250}{9}\approx 27{,}78$

Comprobamos que se trata de un máximo con la segunda derivada:

$S''(x)=\dfrac{-36}{23}<0$

La segunda derivada es negativa en todo el dominio, luego el único extremo es un máximo relativo y, por ser el único, también absoluto. Calculamos la otra dimensión:

$y=\dfrac{1000-18\cdot\frac{250}{9}}{23}=\dfrac{1000-500}{23}=\dfrac{500}{23}\approx 21{,}74$

$S=\dfrac{250}{9}\cdot\dfrac{500}{23}=\dfrac{125000}{207}\approx 603{,}86$

El área cercada es máxima cuando el campo mide $\frac{250}{9}\approx 27{,}78$ metros en la dirección del fondo y $\frac{500}{23}\approx 21{,}74$ metros en la otra, y entonces encierra $603{,}86\ \text{m}^2$ aproximadamente.