Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

a) Discuta, según los valores de $a$ y $b$ (parámetros reales), la posición relativa de los planos

$\pi_1 : 3x + ay - z = 1 \qquad \text{y} \qquad \pi_2 : 6x + y - 2z = b.$

Es decir, si son coincidentes, paralelos o se cortan. En este último caso, especifique si lo hacen perpendicularmente. [5 puntos]

b) Calcule la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto de corte entre la recta $s$ y ese mismo plano $\pi$, siendo

$\pi : \begin{cases} x = 2 + 4\alpha - \beta, \\ y = 3\beta, \\ z = 1 + \alpha, \end{cases} \qquad s : \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 1}{-1},$

para $\alpha$ y $\beta$ valores reales cualesquiera. [5 puntos]

$\textbf{a) Discuta, según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ (parámetros reales), la posición relativa de los planos } \boldsymbol{\pi_1 : 3x + ay - z = 1}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_2 : 6x + y - 2z = b}\textbf{. Es decir, si son coincidentes, paralelos o se cortan. En este último caso, especifique si lo hacen perpendicularmente. [5 puntos]}$

La posición relativa de dos planos se decide comparando los coeficientes: si son proporcionales en las tres incógnitas los planos son paralelos o coincidentes, y si no lo son se cortan en una recta.

$\dfrac{3}{6}=\dfrac{a}{1}=\dfrac{-1}{-2}\ \left(=\dfrac{1}{b}\right)$

Las fracciones primera y tercera valen ambas $\frac{1}{2}$, así que la proporcionalidad de los coeficientes se reduce a una sola condición:

$\dfrac{a}{1}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}$

Si $a=\frac{1}{2}$, hay que mirar el término independiente para separar los dos casos:

$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow b=2$

Por tanto, si $a=\frac{1}{2}$ y $b=2$ los planos son coincidentes, y si $a=\frac{1}{2}$ y $b\neq 2$ son paralelos y distintos.

Si $a\neq\frac{1}{2}$, los coeficientes no son proporcionales y los planos se cortan en una recta, sea cual sea el valor de $b$.



Dentro de este último caso, dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar se anula.

$\vec n_1=(3,a,-1),\qquad \vec n_2=(6,1,-2)$

$\vec n_1\cdot\vec n_2=18+a+2=20+a$

$20+a=0\Rightarrow a=-20$

En resumen: para $a=\frac{1}{2}$ y $b=2$ los planos son coincidentes; para $a=\frac{1}{2}$ y $b\neq 2$ son paralelos; para cualquier otro valor de $a$ se cortan en una recta, y lo hacen perpendicularmente solo si $a=-20$, para cualquier $b$.

$\textbf{b) Calcule la ecuación de la recta perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que pasa por el punto de corte entre la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ y ese mismo plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [5 puntos]}$

Procedemos en tres fases: i) pasamos $\pi$ de paramétricas a general para poder cortarlo con la recta; ii) calculamos el punto de corte; iii) escribimos la recta pedida, cuyo vector director es el normal del plano.

i) De las ecuaciones paramétricas leemos un punto y dos vectores directores:

$P_0(2,0,1),\qquad \vec u=(4,0,1),\qquad \vec v=(-1,3,0)$

$\vec n_{\pi}=\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\4&0&1\\-1&3&0\end{vmatrix}=(-3,-1,12)$

Tomamos el opuesto, $(3,1,-12)$, y determinamos el término independiente con $P_0$:

$\pi:3x+y-12z+D=0\Rightarrow 3\cdot 2+0-12\cdot 1+D=0\Rightarrow D=6$

$\pi:3x+y-12z+6=0$

ii) Escribimos $s$ en paramétricas a partir de su ecuación continua y sustituimos en el plano:

$s:\begin{cases}x=1+2t\\ y=2t\\ z=1-t\end{cases}$

$3(1+2t)+2t-12(1-t)+6=0$

$3+6t+2t-12+12t+6=0\Rightarrow 20t-3=0\Rightarrow t=\dfrac{3}{20}$

$Q\left(1+\dfrac{3}{10},\ \dfrac{3}{10},\ 1-\dfrac{3}{20}\right)=\left(\dfrac{13}{10},\ \dfrac{3}{10},\ \dfrac{17}{20}\right)$

iii) La recta pedida pasa por $Q$ y es perpendicular a $\pi$, luego su vector director es el vector normal del plano.

$r:\begin{cases}x=\dfrac{13}{10}+3\lambda\\[1mm] y=\dfrac{3}{10}+\lambda\\[1mm] z=\dfrac{17}{20}-12\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

La recta perpendicular a $\pi$ por el punto de corte de $s$ con $\pi$ es la de punto $Q\left(\frac{13}{10},\frac{3}{10},\frac{17}{20}\right)$ y vector director $(3,1,-12)$.