Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Consideremos los puntos $A = (0, 0, 0)$, $B = (2, -1, 3)$ y $C = (-1, 2, 1)$.

a) Calcule el punto $D$ tal que $ABDC$ sea un paralelogramo. [3 puntos]

b) Calcule uno de los puntos $E$ del espacio de tal manera que la recta $AE$ sea perpendicular al plano $ABC$ y que la distancia entre los puntos $A$ y $E$ sea 1. [4 puntos]

c) Escriba la ecuación de uno de los planos paralelos al plano $ABC$ que dista una unidad de este. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule el punto } \boldsymbol{D}\textbf{ tal que } \boldsymbol{ABDC}\textbf{ sea un paralelogramo. [3 puntos]}$

En un paralelogramo $ABDC$ los lados se recorren en ese orden, de modo que $AB$ y $CD$ son lados opuestos, igual que $BD$ y $AC$. La condición que caracteriza el paralelogramo es la igualdad de los vectores de dos lados opuestos.

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC}=(-1,2,1)-(0,0,0)=(-1,2,1)$

$D=B+\overrightarrow{AC}=(2,-1,3)+(-1,2,1)=(1,1,4)$

Comprobamos con el otro par de lados:

$\overrightarrow{AB}=(2,-1,3),\qquad \overrightarrow{CD}=(1,1,4)-(-1,2,1)=(2,-1,3)$

El punto buscado es $D(1,1,4)$.

$\textbf{b) Calcule uno de los puntos } \boldsymbol{E}\textbf{ del espacio de tal manera que la recta } \boldsymbol{AE}\textbf{ sea perpendicular al plano } \boldsymbol{ABC}\textbf{ y que la distancia entre los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{E}\textbf{ sea 1. [4 puntos]}$

Que la recta $AE$ sea perpendicular al plano significa que el vector $\overrightarrow{AE}$ es normal al plano, así que calculamos primero ese vector normal como producto vectorial de dos direcciones del plano.

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-1&3\\-1&2&1\end{vmatrix}=(-7,-5,3)$

$|\vec n|=\sqrt{(-7)^2+(-5)^2+3^2}=\sqrt{49+25+9}=\sqrt{83}$

El vector normal marca la dirección, pero no tiene la longitud pedida: hay que normalizarlo para que el desplazamiento desde $A$ mida exactamente una unidad.

$E=A\pm\dfrac{\vec n}{|\vec n|}=(0,0,0)\pm\dfrac{1}{\sqrt{83}}(-7,-5,3)$

Hay dos soluciones, una a cada lado del plano; el enunciado pide solo una.

$E\left(\dfrac{-7}{\sqrt{83}},\ \dfrac{-5}{\sqrt{83}},\ \dfrac{3}{\sqrt{83}}\right)\approx(-0{,}768;\ -0{,}549;\ 0{,}329)$



$\textbf{c) Escriba la ecuación de uno de los planos paralelos al plano } \boldsymbol{ABC}\textbf{ que dista una unidad de este. [3 puntos]}$

Dos planos paralelos comparten vector normal y solo se diferencian en el término independiente, de modo que escribimos el haz de planos paralelos y ajustamos ese término con la fórmula de la distancia.

Del apartado anterior, un vector normal es $(-7,-5,3)$, o equivalentemente $(7,5,-3)$. Como el plano $ABC$ pasa por $A(0,0,0)$, su ecuación es:

$\pi:7x+5y-3z=0$

$\pi':7x+5y-3z+D=0$

Tomamos el punto $A(0,0,0)$ del plano de partida y le imponemos que diste una unidad de $\pi'$:

$d(A,\pi')=\dfrac{|7\cdot 0+5\cdot 0-3\cdot 0+D|}{\sqrt{7^2+5^2+(-3)^2}}=\dfrac{|D|}{\sqrt{83}}=1$

$|D|=\sqrt{83}\Rightarrow D=\pm\sqrt{83}$

Hay dos planos, uno a cada lado. Uno de ellos es

$\pi':7x+5y-3z+\sqrt{83}=0$