Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una fábrica de vino de Mallorca produce 3 tipos de vino: tinto, blanco y rosado. Con la finalidad de saber el precio de cada tipo de vino, hemos comprado vino, el mismo día y en la misma fábrica, de 4 maneras diferentes:

— comprando 3 botellas de vino tinto y 2 de vino blanco hemos pagado 67 €;

— comprando 2 botellas de vino tinto, 4 de vino blanco y 1 de rosado hemos pagado 85 €;

— comprando 1 botella de vino tinto y 1 de rosado hemos pagado 21 €, y finalmente,

— comprando 4 botellas de vino blanco y 5 de rosado hemos pagado 85 €.

a) Escriba, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales que se debería resolver para poder descubrir el precio de cada tipo de vino. [3 puntos]

b) ¿Es necesario tener los datos de las 4 compras para saber el precio de cada tipo de vino? Justifique la respuesta. [2 puntos]

c) Calcule cuál es el precio de cada tipo de vino. [5 puntos]

Llamamos $x$ al precio de una botella de vino tinto, $y$ al de una de blanco y $z$ al de una de rosado, todos en euros.

$\textbf{a) Escriba, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales que se debería resolver para poder descubrir el precio de cada tipo de vino. [3 puntos]}$

Cada compra da una ecuación: el número de botellas de cada tipo multiplica al precio correspondiente y el total es lo pagado.

$\begin{cases}3x+2y=67\\ 2x+4y+z=85\\ x+z=21\\ 4y+5z=85\end{cases}$

Separando la matriz de coeficientes, el vector de incógnitas y el de términos independientes, el sistema se escribe en forma matricial como

$\begin{pmatrix}3&2&0\\2&4&1\\1&0&1\\0&4&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}67\\85\\21\\85\end{pmatrix}$

$\textbf{b) ¿Es necesario tener los datos de las 4 compras para saber el precio de cada tipo de vino? Justifique la respuesta. [2 puntos]}$

Con tres incógnitas, el rango de la matriz de coeficientes no puede pasar de 3, de modo que si tres de las cuatro ecuaciones ya dan rango 3 las cuatro compras son más de las necesarias. Buscamos un menor de orden tres no nulo, por ejemplo con las tres primeras filas:

$\begin{vmatrix}3&2&0\\2&4&1\\1&0&1\end{vmatrix}=12+2+0-0-0-4=10\neq 0$

$\operatorname{rg}(A)=3=\text{número de incógnitas}$

Con esas tres compras el sistema ya es compatible determinado y los precios quedan fijados. No, no es necesario tener los datos de las cuatro compras: bastan tres de ellas, siempre que sean independientes. La cuarta no aporta información nueva; sirve solo de comprobación.

$\textbf{c) Calcule cuál es el precio de cada tipo de vino. [5 puntos]}$

Resolvemos por sustitución. De la tercera ecuación despejamos $z$ y de la primera, $y$:

$z=21-x$

$y=\dfrac{67-3x}{2}$

Llevamos las dos a la cuarta ecuación, que es la única que aún no hemos usado:

$4\cdot\dfrac{67-3x}{2}+5(21-x)=85$

$2(67-3x)+105-5x=85$

$134-6x+105-5x=85\Rightarrow 239-11x=85\Rightarrow 11x=154\Rightarrow x=14$

$y=\dfrac{67-42}{2}=\dfrac{25}{2}=12{,}5,\qquad z=21-14=7$

Comprobamos en la segunda ecuación, que ha quedado libre:

$2\cdot 14+4\cdot 12{,}5+7=28+50+7=85$

La botella de vino tinto cuesta 14 €, la de blanco 12,50 € y la de rosado 7 €.