Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

La concentración (en %) de hidrógeno de un cierto compuesto químico viene dada, en función del tiempo ($t \ge 0$), por la función

$H(t) = \dfrac{20}{1 + e^{-t}},$

donde el tiempo está medido en segundos.

a) ¿Cuál es la concentración inicial? [0,5 puntos]

b) Compruebe que la concentración de hidrógeno es siempre creciente. [1 punto]

c) Calcule hacia qué valor tiende la concentración a medida que pasa el tiempo. [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la concentración inicial? [0,5 puntos]}$

La concentración inicial es la del instante $t=0$, así que basta sustituir en la función.

$H(0)=\dfrac{20}{1+e^{0}}=\dfrac{20}{1+1}=\dfrac{20}{2}=10$

La concentración inicial de hidrógeno es del $10\%$.

$\textbf{b) Compruebe que la concentración de hidrógeno es siempre creciente. [1 punto]}$

Una función es creciente donde su derivada es positiva, de modo que derivamos y estudiamos su signo. Aplicamos la regla del cociente.

$H'(t)=\dfrac{0\cdot(1+e^{-t})-20\cdot(-e^{-t})}{(1+e^{-t})^2}=\dfrac{20e^{-t}}{(1+e^{-t})^2}$

El numerador es positivo, porque la exponencial nunca se anula ni cambia de signo, y el denominador también, por ser un cuadrado no nulo. Así pues:

$H'(t)>0\quad \forall\, t\ge 0$

La derivada es positiva en todo el dominio, luego la concentración de hidrógeno es siempre creciente: nunca deja de aumentar.

$\textbf{c) Calcule hacia qué valor tiende la concentración a medida que pasa el tiempo. [1 punto]}$

Se trata de calcular el límite de la función cuando el tiempo crece indefinidamente. La clave es el comportamiento de la exponencial de exponente negativo, que tiende a cero.

$\lim_{t\to +\infty}e^{-t}=\lim_{t\to +\infty}\dfrac{1}{e^{t}}=\dfrac{1}{+\infty}=0$

$\lim_{t\to +\infty}H(t)=\lim_{t\to +\infty}\dfrac{20}{1+e^{-t}}=\dfrac{20}{1+0}=20$

La concentración tiende al $20\%$: la recta $H=20$ es una asíntota horizontal a la que la curva se acerca sin llegar nunca a alcanzarla, de modo que la concentración crece desde el $10\%$ inicial y se estabiliza en el $20\%$.