Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Dada la curva $y(x) = x^2 - 4$:

a) Calcule la recta tangente, $r$, a la curva $y$ por el punto $(2, 0)$. [1 punto]

b) Calcule el área de la región comprendida entre la curva $y$, el eje $OY$ y la recta $r$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la recta tangente, } \boldsymbol{r}\textbf{, a la curva } \boldsymbol{y}\textbf{ por el punto } \boldsymbol{(2, 0)}\textbf{. [1 punto]}$

Comprobamos primero que el punto es de la curva, porque solo entonces la tangente se obtiene derivando en él.

$y(2)=2^2-4=0$

La pendiente de la tangente es el valor de la derivada en ese punto:

$y'(x)=2x\Rightarrow y'(2)=4$

Escribimos la recta en forma punto-pendiente:

$y-0=4(x-2)$

$r:y=4x-8$

La recta tangente a la curva en el punto $(2,0)$ es $r:y=4x-8$.

$\textbf{b) Calcule el área de la región comprendida entre la curva } \boldsymbol{y}\textbf{, el eje } \boldsymbol{OY}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,5 puntos]}$

El recinto queda limitado a la izquierda por el eje de ordenadas, $x=0$, y a la derecha por el punto de tangencia, que es donde la parábola y la recta se tocan. Los límites de integración son, por tanto, $0$ y $2$.

Para saber cuál de las dos gráficas va por encima, restamos y estudiamos el signo:

$(x^2-4)-(4x-8)=x^2-4x+4=(x-2)^2\ge 0$

La diferencia es un cuadrado, luego la parábola está por encima de la recta en todo el intervalo y solo se tocan en $x=2$, como corresponde a una tangente.

$\mathcal{A}=\int_{0}^{2}\left[(x^2-4)-(4x-8)\right]dx=\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx$

$\mathcal{A}=\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{2}=0-\dfrac{(-2)^3}{3}=\dfrac{8}{3}$

El área de la región pedida es $\dfrac{8}{3}\approx 2{,}67$ unidades de área.