Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Está gestionando un puesto de comida y bebidas en un partido de baloncesto. Vende frankfurts, hamburguesas y refrescos. Cada frankfurt cuesta 3,50 €, cada hamburguesa cuesta 4 € y cada refresco cuesta 1,50 €. Al final de la noche le piden informar de cuántos frankfurts, hamburguesas y refrescos se han vendido.

a) ¿Podría informar de ello sabiendo que ha hecho un total de 328 € y que ha vendido 132 artículos entre frankfurts, hamburguesas y refrescos? Justifique la respuesta. [1 punto]

b) Si, además, sabemos que se han vendido 20 hamburguesas, ¿cuántos frankfurts y cuántos refrescos se han vendido? [1,5 puntos]

Llamamos $x$ al número de frankfurts vendidos, $y$ al de hamburguesas y $z$ al de refrescos.

$\textbf{a) ¿Podría informar de ello sabiendo que ha hecho un total de 328 € y que ha vendido 132 artículos entre frankfurts, hamburguesas y refrescos? Justifique la respuesta. [1 punto]}$

Cada dato del enunciado da una ecuación: la recaudación total y el número de artículos.

$\begin{cases}3{,}5x+4y+1{,}5z=328\\ x+y+z=132\end{cases}$

Tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas, así que el rango de las matrices no puede pasar de 2. Comprobamos que vale exactamente 2:

$\begin{vmatrix}3{,}5&4\\1&1\end{vmatrix}=3{,}5-4=-0{,}5\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2$

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad. Tomando $y=\lambda$ como parámetro y resolviendo:

$\begin{cases}3{,}5x+1{,}5z=328-4\lambda\\ x+z=132-\lambda\end{cases}\Rightarrow x=65-\dfrac{5\lambda}{4},\quad z=67+\dfrac{\lambda}{4}$

No, con esos dos datos no se puede informar: el sistema tiene infinitas soluciones y hay muchos repartos distintos compatibles con una recaudación de 328 € y 132 artículos. Haría falta un dato más.

$\textbf{b) Si, además, sabemos que se han vendido 20 hamburguesas, ¿cuántos frankfurts y cuántos refrescos se han vendido? [1,5 puntos]}$

Conocer $y=20$ elimina el grado de libertad y deja un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

$\begin{cases}3{,}5x+4\cdot 20+1{,}5z=328\\ x+20+z=132\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}3{,}5x+1{,}5z=248\\ x+z=112\end{cases}$

Despejamos $z$ de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

$z=112-x$

$3{,}5x+1{,}5(112-x)=248$

$3{,}5x+168-1{,}5x=248\Rightarrow 2x=80\Rightarrow x=40$

$z=112-40=72$

Se han vendido 40 frankfurts y 72 refrescos, que junto con las 20 hamburguesas dan los 132 artículos y una recaudación de $40\cdot 3{,}5+20\cdot 4+72\cdot 1{,}5=328$ €.