Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Dada la función

$f(x) = \dfrac{1}{x}\,\ln(2x),$

a) Determine el dominio de la función y el comportamiento de la función en los extremos de su dominio. [1 punto]

b) Calcule el área comprendida entre $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = \dfrac{1}{2}$ y $x = 5$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Determine el dominio de la función y el comportamiento de la función en los extremos de su dominio. [1 punto]}$

Hay dos restricciones que imponer: el denominador no puede anularse y el argumento del logaritmo tiene que ser estrictamente positivo.

$\begin{cases}x\neq 0\\ 2x>0\Rightarrow x>0\end{cases}\Rightarrow \text{Dom}\,f=(0,+\infty)$

Estudiamos el comportamiento en los dos extremos del dominio. Por la izquierda, el factor $\frac{1}{x}$ tiende a $+\infty$ y el logaritmo a $-\infty$:

$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}\ln(2x)=(+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty$

de modo que $x=0$ es una asíntota vertical. Por la derecha aparece una indeterminación que se deshace con la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(2x)}{x}=\dfrac{+\infty}{+\infty}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=0$

y por tanto $y=0$ es asíntota horizontal.

El dominio de la función es $(0,+\infty)$; la función se hace infinitamente negativa al acercarse a $x=0$ por la derecha y tiende a $0$ cuando $x$ crece indefinidamente.

$\textbf{b) Calcule el área comprendida entre } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, el eje de abscisas y las rectas } \boldsymbol{x = \dfrac{1}{2}}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 5}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Antes de integrar hay que saber si la función cambia de signo dentro del intervalo, porque en ese caso habría que partir la integral. Buscamos sus cortes con el eje de abscisas:

$f(x)=0\Rightarrow \dfrac{\ln(2x)}{x}=0\Rightarrow \ln(2x)=0\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

El único corte es precisamente el extremo izquierdo del intervalo, y para $x>\frac{1}{2}$ se tiene $2x>1$, con lo que el logaritmo es positivo y $f(x)>0$. El área es, entonces, la integral definida sin más.

$\mathcal{A}=\int_{1/2}^{5}\dfrac{1}{x}\ln(2x)\,dx$

La resolvemos por cambio de variable, tomando como nueva variable el propio logaritmo, cuya derivada es el otro factor:

$\begin{cases}t=\ln(2x)\\ dt=\dfrac{2}{2x}\,dx=\dfrac{1}{x}\,dx\end{cases}$

$\int\dfrac{1}{x}\ln(2x)\,dx=\int t\,dt=\dfrac{t^2}{2}+C=\dfrac{\ln^2(2x)}{2}+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$\mathcal{A}=\left[\dfrac{\ln^2(2x)}{2}\right]_{1/2}^{5}=\dfrac{\ln^2(10)}{2}-\dfrac{\ln^2(1)}{2}$

$\mathcal{A}=\dfrac{\ln^2(10)}{2}\approx 2{,}6509$

El área pedida es $\dfrac{\ln^2(10)}{2}\approx 2{,}65$ unidades de área.