Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

La función que describe la altitud $A$ de un terreno (en metros) sobre un tramo de 500 metros es

$A(x) = -0{,}0001x^3 + 0{,}05x^2 - 4x + 200,$

donde $x \in [0, 500]$ es la distancia recorrida horizontalmente, medida en metros.

a) Demuestre que existe al menos un punto $x$ donde la altitud es 0 dentro del tramo considerado. Indicación: se puede hacer uso del teorema de Bolzano. [1,5 puntos]

b) Estudie los puntos críticos de la función y su crecimiento y decrecimiento para concluir si ese punto es único o no. ¿Lo es? Justifique la respuesta. [1 punto]

$\textbf{a) Demuestre que existe al menos un punto } \boldsymbol{x}\textbf{ donde la altitud es 0 dentro del tramo considerado. Indicación: se puede hacer uso del teorema de Bolzano. [1,5 puntos]}$

Que la altitud sea nula significa que la función se anula, así que basta con probar que $A(x)$ tiene alguna raíz en $[0,500]$. El teorema de Bolzano lo garantiza sin necesidad de resolver la ecuación de tercer grado.

La función es polinómica, luego es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en el intervalo cerrado $[0,500]$. Evaluamos en los extremos:

$A(0)=200>0$

$A(500)=-0{,}0001\cdot 500^3+0{,}05\cdot 500^2-4\cdot 500+200$

$A(500)=-12500+12500-2000+200=-1800<0$

Se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano:

$A(0)\cdot A(500)<0\Rightarrow \exists\, c\in(0,500)\ \text{tal que}\ A(c)=0$

Existe, pues, al menos un punto del tramo en el que la altitud del terreno es nula: el recorrido empieza a 200 m sobre el nivel de referencia y acaba 1800 m por debajo, de modo que en algún punto lo cruza.

$\textbf{b) Estudie los puntos críticos de la función y su crecimiento y decrecimiento para concluir si ese punto es único o no. ¿Lo es? Justifique la respuesta. [1 punto]}$

Bolzano asegura que hay al menos una raíz, pero no dice cuántas. Para saber si es única estudiamos la monotonía: en cada tramo en el que la función es monótona puede cortar al eje como mucho una vez, así que basta con ver en cuáles de ellos hay cambio de signo.

$A'(x)=-0{,}0003x^2+0{,}1x-4$

$A'(x)=0\Rightarrow 0{,}0003x^2-0{,}1x+4=0$

$x=\dfrac{0{,}1\pm\sqrt{0{,}01-4\cdot 0{,}0003\cdot 4}}{2\cdot 0{,}0003}=\dfrac{0{,}1\pm\sqrt{0{,}0052}}{0{,}0006}$

$x_1\approx 46{,}48,\qquad x_2\approx 286{,}85$

Los dos puntos críticos están dentro del tramo. Como el coeficiente principal de $A'(x)$ es negativo, la parábola que la representa es cóncava hacia abajo y su signo es negativo fuera de las raíces y positivo entre ellas.



Evaluamos la función en los dos puntos críticos:

$A(46{,}48)\approx 112{,}06>0$

$A(286{,}85)\approx 806{,}46>0$

En $[0;\ 46{,}48]$ la función decrece de $200$ a $112{,}06$, y en $[46{,}48;\ 286{,}85]$ crece de $112{,}06$ a $806{,}46$: en ninguno de los dos tramos hay cambio de signo, luego en ninguno de ellos se anula. En $[286{,}85;\ 500]$ la función decrece de $806{,}46$ a $-1800$, así que hay cambio de signo, y por ser estrictamente decreciente solo puede cortar al eje una vez.

Sí, el punto es único: la altitud se anula en un solo punto del tramo, situado entre los 286,85 m y los 500 m recorridos.