Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una empresa de construcción necesita comprar diferentes materias primas para elaborar sus productos. Se construyen 4 productos diferentes, los cuales requieren una cierta cantidad de madera (que tiene un coste de $x$ €/kg), de hierro (que tiene un coste de $y$ €/kg) y de plástico (que tiene un coste de $z$ €/kg). Para la elaboración de los diferentes productos se ha recopilado la siguiente información sobre el coste en materias primas:

Producto 1: $2x + y - z = 40$ €

Producto 2: $x - y + 2z = 90$ €

Producto 3: $x + 2y = 70$ €

Producto 4: $x - y + z = 50$ €

a) Describa qué significa la ecuación del producto 1. [0,5 puntos]

b) Con los datos de que disponemos, ¿es posible calcular el precio del kg de cada materia prima? Es decir, ¿calcular $x$, $y$, $z$? Justifique su respuesta. [2 puntos]

$\textbf{a) Describa qué significa la ecuación del producto 1. [0,5 puntos]}$

Los coeficientes de cada ecuación son las cantidades, en kilogramos, de cada materia prima, y las incógnitas $x$, $y$, $z$ son sus precios por kilogramo. El término independiente es, por tanto, el coste total en materias primas de ese producto.

$2x+y-z=40$

La ecuación del producto 1 dice que, valorando 2 kg de madera y 1 kg de hierro y descontando el valor de 1 kg de plástico, se obtienen 40 €. Dicho de otro modo, el producto 1 consume 2 kg de madera y 1 kg de hierro y devuelve 1 kg de plástico, y el balance de todo ello asciende a 40 €.

$\textbf{b) Con los datos de que disponemos, ¿es posible calcular el precio del kg de cada materia prima? Es decir, ¿calcular } \boldsymbol{x}\textbf{, } \boldsymbol{y}\textbf{, } \boldsymbol{z}\textbf{? Justifique su respuesta. [2 puntos]}$

Los cuatro productos dan un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas. Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

$A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&-1&2\\1&2&0\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&40\\1&-1&2&90\\1&2&0&70\\1&-1&1&50\end{array}\right)$

En la matriz de coeficientes buscamos un menor de orden tres no nulo. Tomando las tres últimas filas:

$\begin{vmatrix}1&-1&2\\1&2&0\\1&-1&1\end{vmatrix}=2+0-2-4-0+1=-3\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=3$

El rango de $A$ es máximo, porque tiene solo tres columnas. Para la ampliada hay que comprobar que la cuarta ecuación no contradice a las otras tres; lo hacemos resolviendo con tres de ellas y verificando la restante.

Restando la cuarta ecuación de la segunda:

$(x-y+2z)-(x-y+z)=90-50\Rightarrow z=40$

$x-y+40=50\Rightarrow x-y=10\Rightarrow x=y+10$

$x+2y=70\Rightarrow (y+10)+2y=70\Rightarrow 3y=60\Rightarrow y=20\Rightarrow x=30$

Comprobamos en la ecuación del producto 1, que es la que no hemos usado:

$2\cdot 30+20-40=60+20-40=40$

Se cumple, de modo que la cuarta ecuación es combinación lineal de las otras y

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado. Sí es posible calcular el precio de cada materia prima, y este es único: la madera cuesta 30 €/kg, el hierro 20 €/kg y el plástico 40 €/kg.