Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Un grupo de investigación de la Escuela Politécnica Superior de la UIB participó en diciembre de 2023 en un estudio de las profundidades marinas. El equipo desplegó diversas tecnologías marinas avanzadas con la finalidad de explorar y recoger datos de hábitats marinos a una profundidad de 350 m. Por este motivo, una embarcación con el equipo de investigación se dirigió hacia unas coordenadas marinas específicas.



a) Una vez llegados al punto deseado de la superficie del mar, llamémosle $O$, sumergieron un dispositivo verticalmente 315 m (véase la figura). A continuación, este se desplazó 37 m sobre la recta

$\begin{cases} x = 0, \\ 35y + 12z = -3780, \end{cases}$

hasta alcanzar la profundidad deseada. Calcule el punto donde se situó el dispositivo después de este movimiento, considerando el punto $O$ el centro de referencia (el origen de coordenadas). [1 punto]

b) Si queremos mantener la profundidad deseada (350 m), ¿sobre qué plano se ha de desplazar el dispositivo? [0,5 puntos]

c) Se deja que el dispositivo se desplace libremente sobre el plano calculado en el apartado b) y se monitoriza desde el barco. Con un GPS se ha detectado, desde el barco, la presencia de un objeto (posiblemente un pez) que se desplaza en línea recta sobre la trayectoria

$\begin{cases} x = 5 + 4\lambda, \\ y = 10 + \lambda, \\ z = -380 + 10\lambda. \end{cases}$

Si dicho objeto no cambia su trayectoria, ¿podría chocar contra el dispositivo? En caso afirmativo, ¿en qué punto podría ocurrir la colisión? [1 punto]

$\textbf{a) Una vez llegados al punto deseado de la superficie del mar, llamémosle } \boldsymbol{O}\textbf{, sumergieron un dispositivo verticalmente 315 m (véase la figura). A continuación, este se desplazó 37 m sobre la recta, hasta alcanzar la profundidad deseada. Calcule el punto donde se situó el dispositivo después de este movimiento, considerando el punto } \boldsymbol{O}\textbf{ el centro de referencia (el origen de coordenadas). [1 punto]}$

Con el origen en la superficie del mar y el eje $OZ$ vertical, sumergirse 315 m es bajar esa cantidad sobre el eje $OZ$, de modo que tras la primera maniobra el dispositivo está en

$A(0,0,-315)$

Comprobamos que ese punto pertenece a la recta sobre la que se va a desplazar, sustituyendo sus coordenadas en las dos ecuaciones:

$x=0 \quad\text{y}\quad 35\cdot 0+12\cdot(-315)=-3780$

Necesitamos ahora un vector director de la recta. Está contenida en el plano $x=0$, así que su primera componente es nula, y las otras dos deben anular la parte homogénea de la segunda ecuación:

$\vec v_r=(0,12,-35),\qquad |\vec v_r|=\sqrt{0^2+12^2+(-35)^2}=\sqrt{144+1225}=\sqrt{1369}=37$

El módulo del vector director es exactamente 37, que es la distancia recorrida, de modo que el desplazamiento coincide con sumar o restar ese vector, según el sentido del movimiento.

$A+\vec v_r=(0,0,-315)+(0,12,-35)=(0,12,-350)$

$A-\vec v_r=(0,0,-315)-(0,12,-35)=(0,-12,-280)$

La profundidad deseada es de 350 m, es decir, cota $z=-350$, así que se descarta el segundo punto, que se queda a 280 m.

El dispositivo se situó en el punto $(0,12,-350)$.

$\textbf{b) Si queremos mantener la profundidad deseada (350 m), ¿sobre qué plano se ha de desplazar el dispositivo? [0,5 puntos]}$

Mantener la profundidad significa mantener constante la cota, y el conjunto de los puntos del espacio con una cota fija es un plano horizontal, paralelo al plano $OXY$.

$\pi:z=-350$

El dispositivo se ha de desplazar sobre el plano $\pi:z=-350$, que es el plano horizontal que pasa por la posición calculada en el apartado anterior.

$\textbf{c) Se deja que el dispositivo se desplace libremente sobre el plano calculado en el apartado b) y se monitoriza desde el barco. Con un GPS se ha detectado, desde el barco, la presencia de un objeto (posiblemente un pez) que se desplaza en línea recta sobre la trayectoria. Si dicho objeto no cambia su trayectoria, ¿podría chocar contra el dispositivo? En caso afirmativo, ¿en qué punto podría ocurrir la colisión? [1 punto]}$

El choque solo puede producirse donde el objeto pase por el plano en el que se mueve el dispositivo, así que estudiamos la posición relativa de la recta y el plano sustituyendo las paramétricas en la ecuación de $\pi$.

$z=-350\Rightarrow -380+10\lambda=-350$

$10\lambda=30\Rightarrow \lambda=3$

La ecuación tiene solución única, luego la recta corta al plano en un solo punto, que obtenemos llevando ese valor del parámetro a las otras dos coordenadas:

$\begin{cases}x=5+4\cdot 3=17\\ y=10+3=13\\ z=-380+10\cdot 3=-350\end{cases}$

Sí, el objeto podría chocar contra el dispositivo, y la colisión solo podría ocurrir en el punto $(17,13,-350)$, que es el único de su trayectoria que está a la profundidad de trabajo.