Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

En un estudio de mezclas químicas se preparan tres componentes químicos utilizando tres sustancias diferentes. Las cantidades (en litros) de cada sustancia utilizada son $x$, $y$ y $z$.

Las condiciones experimentales imponen las relaciones siguientes:

$\begin{cases} x + y + z = 3, \\ 2x + y + z = 4, \\ x + y + mz = 3, \end{cases}$

donde $m \ge 0$ es un parámetro real que depende de la concentración de un catalizador.

Discuta, según los valores del parámetro $m$, si se pueden determinar o no las cantidades de cada sustancia. [2 puntos]

$\textbf{Discuta, según los valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{, si se pueden determinar o no las cantidades de cada sustancia. [2 puntos]}$

Poder determinar las cantidades significa que el sistema tenga solución única, es decir, que sea compatible determinado. Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada, y empezamos por anular el determinante de la primera.

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\1&1&m\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\2&1&1&4\\1&1&m&3\end{array}\right)$

$|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&1&1\\1&1&m\end{vmatrix}=m+1+2-1-1-2m=1-m$

$|A|=0\Rightarrow 1-m=0\Rightarrow m=1$

Distinguimos ahora los dos casos.

Si $m\neq 1$, entonces $|A|\neq 0$ y

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

y el sistema es compatible determinado. Resolvemos: restando la primera ecuación de la segunda queda $x=1$, y sustituyendo en la primera y en la tercera:

$\begin{cases}y+z=2\\ y+mz=2\end{cases}\Rightarrow (m-1)z=0\Rightarrow z=0\Rightarrow y=2$

$(x,y,z)=(1,2,0)$

Si $m=1$, la primera y la tercera ecuación son idénticas, con lo que la tercera no aporta información. En la matriz de coeficientes:

$\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=1-2=-1\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

y en la ampliada todos los menores de orden tres son nulos, porque su primera y su tercera fila coinciden, de modo que

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3=\text{número de incógnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad. Tomando $z=\lambda$ como parámetro:

$(x,y,z)=(1,\ 2-\lambda,\ \lambda),\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Para cualquier valor $m\ge 0$ distinto de $1$ las cantidades quedan determinadas y valen $x=1$ litro, $y=2$ litros y $z=0$ litros. Para $m=1$ el sistema tiene infinitas soluciones y las cantidades de cada sustancia no se pueden determinar; en ese caso solo se sabe que se usa $1$ litro de la primera sustancia y que las otras dos suman $2$ litros.