Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Se pretende estudiar la intensidad de la señal eléctrica registrada por un electrodo implantado en un área del córtex cerebral. La intensidad de la señal $I(t)$ (en microvoltios) en función del tiempo $t$ (en milisegundos) después de un estímulo viene dada por la función

$I(t) = 50\,t\,e^{-0{,}2t}, \qquad t \ge 0.$

a) Calcule en qué instante de tiempo la intensidad de la señal es máxima y cuál es esta intensidad. [1 punto]

b) Calcule una primitiva de la función $I(t)$, es decir, determine $\displaystyle\int I(t)\,dt$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule en qué instante de tiempo la intensidad de la señal es máxima y cuál es esta intensidad. [1 punto]}$

El máximo de una función derivable se busca entre los puntos que anulan su derivada, así que derivamos $I(t)$ aplicando la regla del producto.

$I'(t)=50e^{-0{,}2t}+50t\cdot(-0{,}2)e^{-0{,}2t}=50e^{-0{,}2t}\left(1-0{,}2t\right)$

$I'(t)=0\Rightarrow 50e^{-0{,}2t}(1-0{,}2t)=0$

La exponencial no se anula nunca, de modo que el único punto crítico sale del segundo factor:

$1-0{,}2t=0\Rightarrow t=5$

Estudiamos el signo de $I'(t)$ en el dominio $t\ge 0$. Como $50e^{-0{,}2t}>0$ siempre, el signo lo marca $1-0{,}2t$, que es positivo antes de $t=5$ y negativo después.



La función pasa de creciente a decreciente en $t=5$, luego ahí hay un máximo relativo que, por ser el único extremo del intervalo, es el máximo absoluto. Su valor es:

$I(5)=50\cdot 5\cdot e^{-0{,}2\cdot 5}=250e^{-1}=\dfrac{250}{e}\approx 91{,}97$

La intensidad de la señal es máxima a los $5\ \text{ms}$ del estímulo y alcanza entonces los $91{,}97\ \mu\text{V}$ aproximadamente.

$\textbf{b) Calcule una primitiva de la función } \boldsymbol{I(t)}\textbf{, es decir, determine } \boldsymbol{\displaystyle\int I(t)\,dt}\textbf{. [1 punto]}$

El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, así que se resuelve por partes tomando el polinomio como $u$, que al derivarlo desaparece.

$\begin{cases}u=50t & du=50\,dt\\ dv=e^{-0{,}2t}\,dt & v=-5e^{-0{,}2t}\end{cases}$

$\int 50t\,e^{-0{,}2t}\,dt=-250t\,e^{-0{,}2t}+\int 250e^{-0{,}2t}\,dt$

$\int 250e^{-0{,}2t}\,dt=-1250e^{-0{,}2t}+C$

$\int I(t)\,dt=-250t\,e^{-0{,}2t}-1250e^{-0{,}2t}+C=-250e^{-0{,}2t}\left(t+5\right)+C$

Una primitiva de la intensidad es, por tanto, $-250e^{-0{,}2t}(t+5)$, que se comprueba sin más que derivarla y recuperar $I(t)$.