Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea $f(x) = \dfrac{4x^3}{x^2 + 1}\,\ln(x)$. Calcule $\lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)$. [2 puntos]

$\textbf{Sea } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{4x^3}{x^2 + 1}\,\ln(x)}\textbf{. Calcule } \boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)}\textbf{. [2 puntos]}$

La función solo está definida para $x>0$, que es por lo que el límite se toma por la derecha. Al sustituir aparece una indeterminación, porque el primer factor tiende a cero y el logaritmo tiende a $-\infty$.

$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{4x^3}{x^2+1}\ln(x)=0\cdot(-\infty)$

El denominador $x^2+1$ tiende a $1$ y no interviene en la indeterminación, así que basta estudiar el producto $4x^3\ln(x)$.

$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{4x^3}{x^2+1}\ln(x)=\dfrac{1}{1}\lim_{x\to 0^+}4x^3\ln(x)$

Para deshacer la indeterminación escribimos el producto como un cociente, pasando la potencia al denominador:

$\lim_{x\to 0^+}4x^3\ln(x)=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{4\ln(x)}{x^{-3}}=\dfrac{-\infty}{+\infty}$

Aplicando la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado:

$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{4\ln(x)}{x^{-3}}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\dfrac{4}{x}}{-3x^{-4}}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{-4x^{4}}{3x}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{-4x^{3}}{3}=0$

El límite de la función cuando $x$ tiende a cero por la derecha vale $0$: el logaritmo se hace infinitamente grande en valor absoluto, pero el factor $x^3$ tiende a cero con mucha más rapidez y se impone.