Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

En un estudio de grabación se han colocado tres micrófonos colgados del techo con cables de diferentes longitudes para grabar un concierto acústico.



Considerando un sistema de referencia en el que el origen se encuentra en el suelo de la sala, el techo del estudio está a una altura de 7 m, tal como se muestra en la figura. Los micrófonos se colocan en las posiciones siguientes:

— Micrófono 1 ($M_1$): coordenadas $x = 2$, $y = 3$, colgando del techo con un cable de longitud 1 m.

— Micrófono 2 ($M_2$): coordenadas $x = 4$, $y = 4$, colgando del techo con un cable de longitud 2 m.

— Micrófono 3 ($M_3$): coordenadas $x = 5$, $y = 1$, colgando del techo con un cable de longitud 3 m.

Durante el ensayo, un músico se coloca en el punto $P(4, 3, 0)$, que representa su posición sobre el escenario.

a) Determine las coordenadas de los tres micrófonos y calcule la ecuación del plano que los contiene. [1 punto]

b) Sea $\pi$ el plano que contiene los micrófonos $M_1$, $M_2$ y $M_3$. Para mejorar la calidad del sonido, se quiere colocar un cuarto micrófono $M_4$ de manera que sea la proyección ortogonal del punto $P$ sobre el plano $\pi$. Determine las coordenadas de este cuarto micrófono. [1 punto]

$\textbf{a) Determine las coordenadas de los tres micrófonos y calcule la ecuación del plano que los contiene. [1 punto]}$

El techo está a $z=7$ y cada micrófono cuelga de él la longitud de su cable, de modo que su cota es $7$ menos esa longitud. Las abscisas y las ordenadas son las que da el enunciado.

$M_1(2,3,6),\qquad M_2(4,4,5),\qquad M_3(5,1,4)$

Para determinar el plano tomamos $M_1$ como punto de paso y los dos vectores que van de él a los otros dos micrófonos.

$\overrightarrow{M_1M_2}=(4,4,5)-(2,3,6)=(2,1,-1)$

$\overrightarrow{M_1M_3}=(5,1,4)-(2,3,6)=(3,-2,-2)$

Un vector normal del plano es el producto vectorial de esos dos vectores directores:

$\vec n_{\pi}=\overrightarrow{M_1M_2}\times\overrightarrow{M_1M_3}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&1&-1\\3&-2&-2\end{vmatrix}=(-4,1,-7)$

Cambiar el signo de un vector normal no altera el plano, así que trabajamos con $\vec n_{\pi}=(4,-1,7)$:

$\pi:4x-y+7z+D=0$

Determinamos $D$ imponiendo que $M_1$ pertenece al plano:

$4\cdot 2-3+7\cdot 6+D=0\Rightarrow 47+D=0\Rightarrow D=-47$

Los micrófonos están situados en $M_1(2,3,6)$, $M_2(4,4,5)$ y $M_3(5,1,4)$, y el plano que los contiene es $\pi:4x-y+7z-47=0$.

$\textbf{b) Sea } \boldsymbol{\pi}\textbf{ el plano que contiene los micrófonos } \boldsymbol{M_1}\textbf{, } \boldsymbol{M_2}\textbf{ y } \boldsymbol{M_3}\textbf{. Para mejorar la calidad del sonido, se quiere colocar un cuarto micrófono } \boldsymbol{M_4}\textbf{ de manera que sea la proyección ortogonal del punto } \boldsymbol{P}\textbf{ sobre el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. Determine las coordenadas de este cuarto micrófono. [1 punto]}$

La proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$ es el pie de la perpendicular al plano trazada desde $P$, de modo que procedemos en dos fases.

i) Construimos la recta $r$ que, pasando por $P$, es perpendicular a $\pi$. Su vector director es el vector normal del plano.

$r:\begin{cases}x=4+4\lambda\\ y=3-\lambda\\ z=7\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

ii) Calculamos $M_4$ como intersección de $r$ con $\pi$, sustituyendo las paramétricas en la ecuación del plano.

$4(4+4\lambda)-(3-\lambda)+7\cdot 7\lambda-47=0$

$16+16\lambda-3+\lambda+49\lambda-47=0$

$66\lambda-34=0\Rightarrow \lambda=\dfrac{17}{33}$

Llevamos ese valor del parámetro a las ecuaciones de la recta:

$M_4\left(4+\dfrac{68}{33},\ 3-\dfrac{17}{33},\ \dfrac{119}{33}\right)=\left(\dfrac{200}{33},\ \dfrac{82}{33},\ \dfrac{119}{33}\right)$

El cuarto micrófono debe colocarse en el punto $M_4\left(\dfrac{200}{33},\dfrac{82}{33},\dfrac{119}{33}\right)\approx(6{,}06;\ 2{,}48;\ 3{,}61)$.