Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

La función $Q(x) = (x+1)^2\,(32 - x)$, donde $x \in [-1,32]$, representa la producción, en kilogramos, de una hortaliza en un invernadero en función de la temperatura $x$, expresada en grados centígrados (°C), que puede variar entre −1 °C y 32 °C.

a) Calcule cuál es la temperatura del invernadero con la que se obtiene la máxima producción. ¿Qué producción de hortaliza obtendremos a esta temperatura? [1,25 puntos]

b) Calcule a qué temperaturas se alcanza el nivel mínimo de producción y cuál es este valor mínimo. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule cuál es la temperatura del invernadero con la que se obtiene la máxima producción. ¿Qué producción de hortaliza obtendremos a esta temperatura? (1,25 puntos)}$

Derivamos la función aplicando la regla del producto y sacamos factor común para poder anularla cómodamente.

$Q'(x) = 2(x+1)(32 - x) + (x+1)^2\,(-1)$

$Q'(x) = (x+1)\big[2(32 - x) - (x+1)\big] = (x+1)(64 - 2x - x - 1)$

$Q'(x) = (x+1)(63 - 3x) = 3(x+1)(21 - x)$

$Q'(x) = 0 \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ x = 21 \end{cases}$

Se hace un estudio de signos de la derivada dentro del intervalo de trabajo.

$\begin{cases} \text{Si } x = 0,\quad 3\cdot 1\cdot 21 = 63 > 0 \\ \text{Si } x = 30,\quad 3\cdot 31\cdot(-9) = -837 < 0 \end{cases}$

La función crece en $(-1,21)$ y decrece en $(21,32)$, de modo que en $x = 21$ hay un máximo.



$Q(21) = (21+1)^2\,(32 - 21) = 22^2\cdot 11 = 484\cdot 11 = 5324$

La producción máxima se obtiene a $21\ ^{\circ}$C y es de $5324$ kg de hortaliza.

$\textbf{b) Calcule a qué temperaturas se alcanza el nivel mínimo de producción y cuál es este valor mínimo. (1,25 puntos)}$

Se busca el mínimo absoluto de la función en el intervalo cerrado $[-1,32]$, así que hay que comparar los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. Por el apartado anterior el único punto crítico interior es $x = 21$, que es un máximo, de modo que el mínimo tiene que estar en los extremos.

$Q(-1) = (-1+1)^2\,(32 + 1) = 0\cdot 33 = 0$

$Q(32) = (32+1)^2\,(32 - 32) = 1089\cdot 0 = 0$

Los dos extremos anulan la producción: en $x = -1$ se anula el factor $(x+1)^2$ y en $x = 32$ se anula el factor $(32 - x)$. Además, dentro del intervalo los dos factores son positivos, de manera que $Q(x) > 0$ y no puede haber ningún valor menor que cero.

El nivel mínimo de producción se alcanza a $-1\ ^{\circ}$C y a $32\ ^{\circ}$C, y en ambos casos la producción es de $0$ kg.