Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un triatlón consta de tres segmentos que hay que realizar consecutivamente practicando tres modalidades de deporte diferentes: natación, ciclismo y carrera a pie. La distancia total que se recorrerá en el triatlón es de 75 km. Sabemos que el recorrido en bicicleta es igual a cuatro veces la distancia que hay que recorrer nadando y corriendo conjuntamente. Sabemos también que si sumamos 3 km a la distancia que se hace corriendo nos da lo mismo que cinco veces el recorrido que se hace nadando. Determine la distancia recorrida en cada modalidad. [2,5 puntos]

$\textbf{Determine la distancia recorrida en cada modalidad. (2,5 puntos)}$

Llamamos $n$ a los kilómetros de natación, $c$ a los de ciclismo y $p$ a los de carrera a pie. Traducimos a ecuaciones los tres datos del enunciado.

La distancia total del triatlón es de 75 km:

$n + c + p = 75$

El recorrido en bicicleta es cuatro veces el de natación y carrera juntos:

$c = 4\,(n + p)$

La distancia de carrera más 3 km es cinco veces la de natación:

$p + 3 = 5n$

$\begin{cases} n + c + p = 75 \\ c = 4(n + p) \\ p + 3 = 5n \end{cases}$

En la primera ecuación aparece el bloque $n + p$, que es el que interviene en la segunda. Despejando $n + p = 75 - c$ y sustituyendo:

$c = 4\,(75 - c) \Rightarrow c = 300 - 4c \Rightarrow 5c = 300 \Rightarrow c = 60$

Con el ciclismo conocido se obtiene el resto del recorrido:

$n + p = 75 - 60 = 15$

Sustituimos la tercera condición, $p = 5n - 3$:

$n + 5n - 3 = 15 \Rightarrow 6n = 18 \Rightarrow n = 3 \Rightarrow p = 5\cdot 3 - 3 = 12$

Comprobamos las tres condiciones:

$3 + 60 + 12 = 75,\qquad 60 = 4\,(3 + 12),\qquad 12 + 3 = 15 = 5\cdot 3$

En el triatlón se recorren $3$ km nadando, $60$ km en bicicleta y $12$ km corriendo.