Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Consideremos las funciones $f(x) = x^2 + ax + b$ y $g(x) = -x^2 + c$.

a) Calcule los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ se corten en los puntos $(-1,3)$ y $(3,-5)$. [1,25 puntos]

b) Para $c = 4$, encuentre la ecuación de la recta tangente a $g(x)$ en el punto de abscisa $x = -1$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ para que las gráficas de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ se corten en los puntos } \boldsymbol{(-1,3)}\textbf{ y } \boldsymbol{(3,-5)}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Que las dos gráficas se corten en un punto significa que las dos funciones pasan por él, de modo que cada punto da dos condiciones. Empezamos por $g$, que solo tiene un parámetro.

$g(-1) = 3 \Rightarrow -(-1)^2 + c = 3 \Rightarrow -1 + c = 3 \Rightarrow c = 4$

Comprobamos que ese mismo valor sirve para el segundo punto:

$g(3) = -3^2 + 4 = -9 + 4 = -5$

Ahora imponemos que la parábola $f$ pase por los dos puntos.

$f(-1) = 3 \Rightarrow 1 - a + b = 3 \Rightarrow -a + b = 2$

$f(3) = -5 \Rightarrow 9 + 3a + b = -5 \Rightarrow 3a + b = -14$

$\begin{cases} -a + b = 2 \\ 3a + b = -14 \end{cases}$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$4a = -16 \Rightarrow a = -4 \Rightarrow b = 2 + a = -2$

Comprobamos los dos puntos en $f(x) = x^2 - 4x - 2$:

$f(-1) = 1 + 4 - 2 = 3,\qquad f(3) = 9 - 12 - 2 = -5$

Los parámetros valen $a = -4$, $b = -2$ y $c = 4$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{c = 4}\textbf{, encuentre la ecuación de la recta tangente a } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = -1}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Con $c = 4$ la función es $g(x) = -x^2 + 4$. La recta tangente en un punto se escribe con la ecuación punto-pendiente, de manera que hacen falta la ordenada del punto y la pendiente, que es el valor de la derivada.

$g(-1) = -1 + 4 = 3$

$g'(x) = -2x \Rightarrow g'(-1) = 2$

$y - g(-1) = g'(-1)\,(x - (-1)) \Rightarrow y - 3 = 2(x + 1)$

$y = 2x + 2 + 3 = 2x + 5$

La recta tangente a $g(x)$ en el punto de abscisa $x = -1$ es $y = 2x + 5$.