Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una conocida marca fabrica dos versiones de una misma fragancia: el perfume, que es más concentrado y que se vende en botellas pequeñas que cuestan 70 euros, y la colonia, que es más diluida y que se vende en botellas más grandes a 82 euros. En la fabricación hay que mezclar dos ingredientes: el ingrediente A (que contiene el aroma concentrado) y el ingrediente B (que contiene alcohol y otras sustancias). En estos momentos el fabricante dispone de 5.000 ml del ingrediente A y de 30.000 ml del ingrediente B. Para fabricar una botella de perfume hacen falta 10 ml del ingrediente A y 40 ml del ingrediente B, y para fabricar una de colonia hacen falta 10 ml del ingrediente A y 90 ml del ingrediente B. Los pedidos actuales obligan a fabricar al menos 120 unidades de perfume y 70 unidades de colonia.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) ¿Cuántas unidades hay que producir de cada versión para obtener, una vez vendidas, unos ingresos máximos? ¿Cuáles son estos ingresos? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de botellas de perfume e $y$ al número de botellas de colonia. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Ingrediente A (ml)}$	$\text{Ingrediente B (ml)}$	$\text{Ingresos (€)}$ Perfume (x)	10x	40x	70x Colonia (y)	10y	90y	82y Totales	10x + 10y	40x + 90y	70x + 82y

La función objetivo que queremos maximizar es el ingreso por la venta:

$I(x,y) = 70x + 82y$

Las restricciones del problema son:

Solo hay 5.000 ml del ingrediente A $\Rightarrow$ $10x + 10y \le 5000$, que dividiendo entre 10 queda $x + y \le 500$.

Solo hay 30.000 ml del ingrediente B $\Rightarrow$ $40x + 90y \le 30000$, que dividiendo entre 10 queda $4x + 9y \le 3000$.

Los pedidos obligan a fabricar al menos 120 perfumes y 70 colonias $\Rightarrow$ $x \ge 120;\ y \ge 70$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x + y \le 500 \\ 4x + 9y \le 3000 \\ x \ge 120;\ y \ge 70 \end{cases}$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:

$x + y = 500 \Rightarrow y = 500 - x$

$4x + 9y = 3000 \Rightarrow y = \dfrac{3000 - 4x}{9}$

junto con las rectas $x = 120$ e $y = 70$. La región factible es la zona coloreada en azul.



$\textbf{b) ¿Cuántas unidades hay que producir de cada versión para obtener, una vez vendidas, unos ingresos máximos? ¿Cuáles son estos ingresos? (1,25 puntos)}$

Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases} x = 120 \\ y = 70 \end{cases} \Rightarrow A(120,70)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} x + y = 500 \\ y = 70 \end{cases} \Rightarrow x = 430 \Rightarrow B(430,70)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x + y = 500 \\ 4x + 9y = 3000 \end{cases}$

Despejamos $x = 500 - y$ en la primera y sustituimos en la segunda:

$4(500 - y) + 9y = 3000 \Rightarrow 2000 + 5y = 3000 \Rightarrow y = 200 \Rightarrow x = 300 \Rightarrow C(300,200)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} 4x + 9y = 3000 \\ x = 120 \end{cases} \Rightarrow 480 + 9y = 3000 \Rightarrow y = 280 \Rightarrow D(120,280)$

Valoramos la función de ingresos $I(x,y) = 70x + 82y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$A(120,70) \Rightarrow I(120,70) = 8400 + 5740 = 14140$

$B(430,70) \Rightarrow I(430,70) = 30100 + 5740 = 35840$

$C(300,200) \Rightarrow I(300,200) = 21000 + 16400 = 37400$

$D(120,280) \Rightarrow I(120,280) = 8400 + 22960 = 31360$

El ingreso máximo se produce en el vértice $C(300,200)$.

Hay que fabricar $300$ botellas de perfume y $200$ de colonia, con lo que se obtienen unos ingresos máximos de $37.400$ €.