Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Un fabricante tuvo un producto a la venta durante diez años. Durante este tiempo, el precio del producto $P$, en euros, estuvo relacionado con el tiempo que hacía que estaba a la venta $t$, expresado en años, siguiendo la función siguiente:

$P(t) = \begin{cases} 5(t+1)^2 - 5 & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ -4t + 48 & \text{si } 2 < t \le 10 \end{cases}$

a) Indique los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del precio del producto durante estos diez años. [1,25 puntos]

b) Encuentre el precio máximo que alcanzó el producto durante el tiempo que estuvo a la venta y calcule la tasa de variación media del precio del producto durante los últimos cinco años que estuvo a la venta. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Indique los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del precio del producto durante estos diez años. (1,25 puntos)}$

Al ser una función definida a trozos se estudia cada tramo por separado con el signo de su derivada.

En el primer tramo, para $0 \le t \le 2$:

$P(t) = 5(t+1)^2 - 5 \Rightarrow P'(t) = 10(t+1)$

Como $t \ge 0$, se cumple $t + 1 > 0$ y por tanto $P'(t) > 0$: el precio crece.

En el segundo tramo, para $2 < t \le 10$:

$P(t) = -4t + 48 \Rightarrow P'(t) = -4 < 0$

La derivada es una constante negativa, de modo que el precio decrece.

El precio del producto crece en el intervalo $[0,2]$ y decrece en el intervalo $(2,10]$.



$\textbf{b) Encuentre el precio máximo que alcanzó el producto durante el tiempo que estuvo a la venta y calcule la tasa de variación media del precio del producto durante los últimos cinco años que estuvo a la venta. (1,25 puntos)}$

Por el apartado anterior el precio sube hasta $t = 2$ y baja después, así que el máximo está en el punto de empalme. Comprobamos que la función es continua allí evaluando los dos trozos.

$P(2) = 5(2+1)^2 - 5 = 45 - 5 = 40$

$-4\cdot 2 + 48 = 40$

Los dos trozos dan el mismo valor, de modo que el precio máximo es de 40 € y se alcanza a los 2 años. Comparamos con los extremos del intervalo para confirmarlo:

$P(0) = 5\cdot 1 - 5 = 0,\qquad P(10) = -40 + 48 = 8$

Los últimos cinco años a la venta van de $t = 5$ a $t = 10$, todos dentro del segundo tramo.

$P(5) = -20 + 48 = 28$

$\text{TVM}[5,10] = \dfrac{P(10) - P(5)}{10 - 5} = \dfrac{8 - 28}{5} = -4$

El precio máximo del producto fue de $40$ € a los 2 años de estar a la venta, y durante los últimos cinco años el precio bajó, de media, $4$ € por año.