Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Consideremos la matriz $A = \begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}$. Estudie para qué valores de $x$ la matriz inversa de la matriz $A$ coincide con su opuesta, es decir, $A^{-1} = -A$. [2,5 puntos]

$\textbf{Estudie para qué valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ la matriz inversa de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ coincide con su opuesta, es decir, } \boldsymbol{A^{-1} = -A}\textbf{. (2,5 puntos)}$

Conviene transformar la condición antes de calcular nada. Por la definición de matriz inversa, $A\cdot A^{-1} = I$, de modo que si la inversa es la opuesta:

$A^{-1} = -A \Rightarrow A\cdot(-A) = I \Rightarrow -A^2 = I \Rightarrow A^2 = -I$

Así el problema se reduce a calcular el cuadrado de la matriz, sin necesidad de invertirla.

$A^2 = \begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} x\cdot x + (-2)\cdot 5 & x(-2) + (-2)(-x) \\ 5x + (-x)\cdot 5 & 5(-2) + (-x)(-x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 - 10 & 0 \\ 0 & x^2 - 10 \end{pmatrix}$

Los elementos de fuera de la diagonal son nulos para cualquier valor del parámetro, así que basta imponer que los de la diagonal valgan $-1$.

$x^2 - 10 = -1 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$

Hay que comprobar que para esos valores la matriz tiene inversa, es decir, que su determinante no se anula.

$|A| = \begin{vmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{vmatrix} = -x^2 + 10$

$|A| = -9 + 10 = 1 \neq 0$

Comprobamos el resultado con $x = 3$:

$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix},\qquad A^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = -A$

La inversa de $A$ coincide con su opuesta para $x = 3$ y para $x = -3$.