Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

El beneficio de una empresa, expresado en millones de euros, viene dado por la función siguiente, donde $x$ indica el número de años que han pasado desde el momento en que empezó a funcionar:

$B(x) = \dfrac{5x + 20}{x^2 + 9} - \dfrac{20}{9}$

a) ¿Cuál es el beneficio en el momento en que la empresa empieza a funcionar? ¿En qué momento la empresa pasa de tener beneficios a tener pérdidas? [1,25 puntos]

b) ¿En qué momento consigue la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo? [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es el beneficio en el momento en que la empresa empieza a funcionar? ¿En qué momento la empresa pasa de tener beneficios a tener pérdidas? (1,25 puntos)}$

El momento inicial corresponde a $x = 0$, así que basta evaluar la función.

$B(0) = \dfrac{20}{9} - \dfrac{20}{9} = 0$

La empresa pasa de beneficios a pérdidas cuando el beneficio se anula, de modo que resolvemos la ecuación $B(x) = 0$.

$\dfrac{5x + 20}{x^2 + 9} = \dfrac{20}{9}$

Multiplicamos en cruz, teniendo en cuenta que $x^2 + 9$ nunca se anula:

$9(5x + 20) = 20(x^2 + 9)$

$45x + 180 = 20x^2 + 180 \Rightarrow 20x^2 - 45x = 0$

$5x\,(4x - 9) = 0 \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = \dfrac{9}{4} = 2{,}25 \end{cases}$

La solución $x = 0$ es el momento inicial, así que la que responde a la pregunta es la otra. Comprobamos el signo antes y después:

$\begin{cases} \text{Si } x = 1,\quad B(1) = \dfrac{25}{10} - \dfrac{20}{9} = \dfrac{5}{18} > 0 \\ \text{Si } x = 3,\quad B(3) = \dfrac{35}{18} - \dfrac{20}{9} = -\dfrac{5}{18} < 0 \end{cases}$



Al empezar a funcionar el beneficio de la empresa es de $0$ euros, y pasa de tener beneficios a tener pérdidas a los $2{,}25$ años, es decir, a los 2 años y 3 meses.

$\textbf{b) ¿En qué momento consigue la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo? (1,25 puntos)}$

Derivamos la función. El segundo sumando es constante, así que solo hay que derivar el cociente.

$B'(x) = \dfrac{5(x^2 + 9) - (5x + 20)\cdot 2x}{(x^2 + 9)^2}$

$B'(x) = \dfrac{5x^2 + 45 - 10x^2 - 40x}{(x^2 + 9)^2} = \dfrac{-5x^2 - 40x + 45}{(x^2 + 9)^2}$

$B'(x) = 0 \Rightarrow -5x^2 - 40x + 45 = 0 \Rightarrow x^2 + 8x - 9 = 0$

$x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \dfrac{-8 \pm 10}{2} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ x = -9 \end{cases}$

Se descarta la solución negativa porque no se pueden contar años negativos desde el inicio de la actividad.

El denominador de la derivada es siempre positivo, así que el signo lo marca el numerador. Se hace un estudio de signos.

$\begin{cases} \text{Si } x = 0,\quad 45 > 0 \\ \text{Si } x = 2,\quad -20 - 80 + 45 = -55 < 0 \end{cases}$

La función crece en $(0,1)$ y decrece en $(1,+\infty)$, de modo que en $x = 1$ hay un máximo.



$B(1) = \dfrac{5 + 20}{1 + 9} - \dfrac{20}{9} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{20}{9} = \dfrac{45 - 40}{18} = \dfrac{5}{18} \approx 0{,}28$

El beneficio máximo se consigue al cabo de $1$ año y es de $\frac{5}{18}$ millones de euros, aproximadamente $277.777{,}78$ €.