Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un fabricante de muebles de jardín fabrica sillas y mesas de madera de exterior. Cada silla le aporta un beneficio de 20 € y cada mesa uno de 25 €. Sabemos que cada mes puede producir como máximo un total de 120 muebles entre los dos productos. También sabemos que, como máximo, puede fabricar 100 sillas y que ha de fabricar un mínimo de 10 mesas. Por otra parte, el número de sillas fabricadas ha de ser igual o superior al triple de mesas fabricadas.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es la producción mensual que le aporta el máximo beneficio una vez vendida? ¿Cuál es este beneficio? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de sillas fabricadas cada mes e $y$ al número de mesas. La función objetivo que queremos maximizar es el beneficio mensual:

$B(x,y) = 20x + 25y$

Las restricciones del problema son:

Como máximo se pueden producir 120 muebles en total $\Rightarrow$ $x + y \le 120$.

Como máximo se pueden fabricar 100 sillas $\Rightarrow$ $x \le 100$.

Hay que fabricar un mínimo de 10 mesas $\Rightarrow$ $y \ge 10$.

El número de sillas ha de ser igual o superior al triple de mesas $\Rightarrow$ $x \ge 3y$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x + y \le 120 \\ x \le 100 \\ y \ge 10 \\ x \ge 3y \end{cases}$

Para representar la región factible dibujamos las rectas que la delimitan:

$x + y = 120 \Rightarrow y = 120 - x$

$x = 3y \Rightarrow y = \dfrac{x}{3}$

junto con las rectas $x = 100$ e $y = 10$. La región factible es la zona coloreada en azul.



$\textbf{b) ¿Cuál es la producción mensual que le aporta el máximo beneficio una vez vendida? ¿Cuál es este beneficio? (1,25 puntos)}$

Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases} x = 3y \\ y = 10 \end{cases} \Rightarrow x = 30 \Rightarrow A(30,10)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} x = 100 \\ y = 10 \end{cases} \Rightarrow B(100,10)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x + y = 120 \\ x = 100 \end{cases} \Rightarrow y = 20 \Rightarrow C(100,20)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} x + y = 120 \\ x = 3y \end{cases} \Rightarrow 3y + y = 120 \Rightarrow y = 30 \Rightarrow x = 90 \Rightarrow D(90,30)$

Valoramos la función $B(x,y) = 20x + 25y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$A(30,10) \Rightarrow B(30,10) = 600 + 250 = 850$

$B(100,10) \Rightarrow B(100,10) = 2000 + 250 = 2250$

$C(100,20) \Rightarrow B(100,20) = 2000 + 500 = 2500$

$D(90,30) \Rightarrow B(90,30) = 1800 + 750 = 2550$

El beneficio máximo se produce en el vértice $D(90,30)$.

El fabricante ha de producir cada mes $90$ sillas y $30$ mesas, con lo que obtiene un beneficio máximo de $2550$ €.