Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

El coste de elaboración de un menú en un restaurante es de 8 €. Se ha realizado un estudio de mercado y se ha llegado a la conclusión de que si el precio del menú es de 18 € entran a comer al restaurante 120 clientes. También se ha concluido que la relación entre el precio del menú y el número de clientes es lineal, de manera que, por cada euro que aumentamos el precio del menú, disminuye en 4 el número de clientes. Y al revés, por cada euro que disminuimos el precio, aumenta en 4 el número de clientes.

a) Obtenga la función que expresa el beneficio del restaurante en función del número de euros en que aumentamos o disminuimos el precio inicial del menú. [1,25 puntos]

b) Encuentre en cuántos euros hay que aumentar o disminuir el precio inicial del menú para que el restaurante obtenga el máximo beneficio. ¿Cuál sería el precio final del menú y cuál sería el beneficio obtenido con este precio? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Obtenga la función que expresa el beneficio del restaurante en función del número de euros en que aumentamos o disminuimos el precio inicial del menú. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de euros en que se modifica el precio del menú: si $x$ es positivo el precio sube y si es negativo el precio baja. Con ese convenio, las dos magnitudes que dependen de $x$ son:

$\text{Precio del menú} = 18 + x$

$\text{Número de clientes} = 120 - 4x$

El beneficio de cada menú es la diferencia entre lo que se cobra y lo que cuesta elaborarlo, y el beneficio total es ese margen multiplicado por el número de clientes.

$B(x) = \big((18 + x) - 8\big)\,(120 - 4x) = (10 + x)(120 - 4x)$

$B(x) = 1200 - 40x + 120x - 4x^2$

$B(x) = -4x^2 + 80x + 1200$

El beneficio del restaurante en función de la variación del precio es $B(x) = -4x^2 + 80x + 1200$ euros.

$\textbf{b) Encuentre en cuántos euros hay que aumentar o disminuir el precio inicial del menú para que el restaurante obtenga el máximo beneficio. ¿Cuál sería el precio final del menú y cuál sería el beneficio obtenido con este precio? (1,25 puntos)}$

Derivamos la función beneficio y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$B'(x) = -8x + 80$

$B'(x) = 0 \Rightarrow -8x + 80 = 0 \Rightarrow x = 10$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B''(x) = -8 \Rightarrow B''(10) = -8 < 0$

Como el resultado es positivo, hay que subir el precio. Calculamos el precio final, el número de clientes y el beneficio.

$\text{Precio} = 18 + 10 = 28\ \text{€}$

$\text{Clientes} = 120 - 4\cdot 10 = 80$

$B(10) = -4\cdot 100 + 80\cdot 10 + 1200 = -400 + 800 + 1200 = 1600$

Hay que aumentar el precio inicial en $10$ €, con lo que el menú pasa a costar $28$ €, entran $80$ clientes y el restaurante obtiene un beneficio máximo de $1600$ €.