Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

El 1 de enero de 2019 salió al mercado un nuevo modelo de un producto técnico de esquí. La función de tercer grado $f(x) = 10x^3 - 210x^2 + 1.470x$ nos da el número total de unidades vendidas, donde $x$ denota el número de meses transcurridos desde el lanzamiento del producto, durante el primer año (es decir, $x \in [0,12]$).

a) ¿Cuántas unidades se habían vendido al cabo de 3 meses? ¿Cuántas se vendieron al cabo de un año? Determine la tasa de variación media entre los meses 3 y 12. [1,25 puntos]

b) Compruebe que la función es creciente en el intervalo $[0,12]$ y encuentre en qué instante el crecimiento ha sido más lento. [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuántas unidades se habían vendido al cabo de } \boldsymbol{3}\textbf{ meses? ¿Cuántas se vendieron al cabo de un año? Determine la tasa de variación media entre los meses } \boldsymbol{3}\textbf{ y } \boldsymbol{12}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Basta evaluar la función en los dos instantes pedidos.

$f(3) = 10\cdot 27 - 210\cdot 9 + 1470\cdot 3 = 270 - 1890 + 4410 = 2790$

$f(12) = 10\cdot 1728 - 210\cdot 144 + 1470\cdot 12 = 17280 - 30240 + 17640 = 4680$

La tasa de variación media en un intervalo es el cociente entre el incremento de la función y el incremento de la variable.

$\text{TVM}[3,12] = \dfrac{f(12) - f(3)}{12 - 3} = \dfrac{4680 - 2790}{9} = \dfrac{1890}{9} = 210$

Al cabo de 3 meses se habían vendido $2790$ unidades y al cabo de un año, $4680$. Entre los meses 3 y 12 se vendieron, de media, $210$ unidades por mes.

$\textbf{b) Compruebe que la función es creciente en el intervalo } \boldsymbol{[0,12]}\textbf{ y encuentre en qué instante el crecimiento ha sido más lento. (1,25 puntos)}$

Una función es creciente donde su derivada es positiva, así que derivamos y estudiamos su signo.

$f'(x) = 30x^2 - 420x + 1470$

Sacamos factor común y observamos que el trinomio que queda es un cuadrado perfecto:

$f'(x) = 30\,(x^2 - 14x + 49) = 30\,(x - 7)^2$

Un cuadrado nunca es negativo, de modo que $f'(x) \ge 0$ para cualquier valor de $x$ y la función es creciente en todo el intervalo $[0,12]$.

La derivada mide la rapidez del crecimiento, así que el crecimiento es más lento donde la derivada toma su valor más pequeño. Como $f'(x) = 30(x-7)^2$, el mínimo se alcanza cuando el cuadrado se anula.

$f'(x) = 0 \Rightarrow (x - 7)^2 = 0 \Rightarrow x = 7$

La función es creciente en todo el intervalo $[0,12]$, porque su derivada es un cuadrado multiplicado por 30, y el crecimiento más lento se produce en el mes $7$, cuando la derivada se anula.