Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Considere la función $f(x) = px^3 - 4x^2 + 7px - 18$.

a) Calcule cuál ha de ser el valor del parámetro $p$ para que las rectas tangentes a la curva en los puntos de abscisas $x = 1$ y $x = 3$ sean paralelas. [1,25 puntos]

b) Escriba la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa $x = 3$ para el valor de $p = 2$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule cuál ha de ser el valor del parámetro } \boldsymbol{p}\textbf{ para que las rectas tangentes a la curva en los puntos de abscisas } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 3}\textbf{ sean paralelas. (1,25 puntos)}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto, y dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Así pues, hay que imponer $f'(1) = f'(3)$.

$f'(x) = 3px^2 - 8x + 7p$

$f'(1) = 3p - 8 + 7p = 10p - 8$

$f'(3) = 27p - 24 + 7p = 34p - 24$

$10p - 8 = 34p - 24$

$16 = 24p \Rightarrow p = \dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}$

Las dos tangentes son paralelas si el parámetro vale $p = \dfrac{2}{3}$.

$\textbf{b) Escriba la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 3}\textbf{ para el valor de } \boldsymbol{p = 2}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Con $p = 2$ la función y su derivada son:

$f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 14x - 18$

$f'(x) = 6x^2 - 8x + 14$

La recta tangente en un punto se escribe con la ecuación punto-pendiente, así que hacen falta la ordenada del punto y la pendiente.

$f(3) = 2\cdot 27 - 4\cdot 9 + 14\cdot 3 - 18 = 54 - 36 + 42 - 18 = 42$

$f'(3) = 6\cdot 9 - 8\cdot 3 + 14 = 54 - 24 + 14 = 44$

$y - f(3) = f'(3)(x - 3) \Rightarrow y - 42 = 44(x - 3)$

$y = 44x - 132 + 42 = 44x - 90$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 3$ es $y = 44x - 90$.