Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Una empresa pone a la venta un producto que distribuye en cajas. El beneficio $B$ obtenido por la empresa, expresado en miles de euros, viene dado por la expresión $B(x) = -x^2 + 16x - 55$, donde $x > 0$ es el precio de venta de cada caja, expresado en euros.

a) ¿Qué beneficio obtendrá si el precio de venta de cada caja es de 6 euros? ¿Entre qué valores hay que fijar el precio de venta de una caja para obtener beneficios? [1,25 puntos]

b) ¿A qué precio ha de vender cada caja para que el beneficio sea el mayor posible? ¿Cuál es este beneficio máximo? [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Qué beneficio obtendrá si el precio de venta de cada caja es de } \boldsymbol{6}\textbf{ euros? ¿Entre qué valores hay que fijar el precio de venta de una caja para obtener beneficios? (1,25 puntos)}$

El beneficio para un precio concreto es el valor de la función en ese punto.

$B(6) = -6^2 + 16\cdot 6 - 55 = -36 + 96 - 55 = 5$

Para que haya beneficios la función ha de ser positiva, así que se resuelve la inecuación $B(x) > 0$. Calculamos primero los ceros.

$-x^2 + 16x - 55 = 0 \Rightarrow x^2 - 16x + 55 = 0$

$x = \dfrac{16 \pm \sqrt{256 - 220}}{2} = \dfrac{16 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{16 \pm 6}{2}$

$\begin{cases} x = 5 \\ x = 11 \end{cases}$

Se hace un estudio de signos tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\begin{cases} \text{Si } x = 1,\quad B(1) = -1 + 16 - 55 = -40 < 0 \\ \text{Si } x = 6,\quad B(6) = 5 > 0 \\ \text{Si } x = 20,\quad B(20) = -400 + 320 - 55 = -135 < 0 \end{cases}$

Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola es cóncava y solo es positiva entre sus dos raíces.



Vendiendo la caja a 6 euros el beneficio es de $5$ millares de euros, es decir, $5000$ €, y para tener beneficios hay que fijar el precio entre $5$ y $11$ euros.

$\textbf{b) ¿A qué precio ha de vender cada caja para que el beneficio sea el mayor posible? ¿Cuál es este beneficio máximo? (1,25 puntos)}$

Derivamos la función beneficio y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$B'(x) = -2x + 16$

$B'(x) = 0 \Rightarrow -2x + 16 = 0 \Rightarrow x = 8$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B''(x) = -2 \Rightarrow B''(8) = -2 < 0$

$B(8) = -8^2 + 16\cdot 8 - 55 = -64 + 128 - 55 = 9$

La empresa ha de vender cada caja a $8$ euros, y con ese precio obtiene un beneficio máximo de $9$ millares de euros, es decir, $9000$ €.