Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

La función $C(t) = 3 - \dfrac{1}{t^2 - 4t + 5}$, donde $t$ son los años transcurridos y $C(t)$ la cantidad de clientes, expresada en miles, modeliza la evolución de una empresa que ha entrado en crisis.

a) Calcule cuántos clientes tenía la empresa en el momento inicial y cuántos tenía al cabo de un año. [0,5 puntos]

b) Encuentre el instante en el que la empresa deja de perder clientes y calcule cuántos clientes tiene en aquel instante. [1 punto]

c) Calcule cuánto tiempo tendrá que pasar para que la empresa consiga tener de nuevo el mismo número de clientes que en el momento de iniciar el estudio. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule cuántos clientes tenía la empresa en el momento inicial y cuántos tenía al cabo de un año. (0,5 puntos)}$

Basta evaluar la función en $t = 0$ y en $t = 1$, teniendo en cuenta que el resultado viene expresado en miles de clientes.

$C(0) = 3 - \dfrac{1}{0 - 0 + 5} = 3 - \dfrac{1}{5} = 2{,}8$

$C(1) = 3 - \dfrac{1}{1 - 4 + 5} = 3 - \dfrac{1}{2} = 2{,}5$

En el momento inicial la empresa tenía $2800$ clientes y al cabo de un año, $2500$.

$\textbf{b) Encuentre el instante en el que la empresa deja de perder clientes y calcule cuántos clientes tiene en aquel instante. (1 punto)}$

La empresa deja de perder clientes cuando la función pasa de decrecer a crecer, es decir, en su mínimo. Derivamos y anulamos la derivada.

$C(t) = 3 - (t^2 - 4t + 5)^{-1}$

$C'(t) = \dfrac{2t - 4}{(t^2 - 4t + 5)^2}$

$C'(t) = 0 \Rightarrow 2t - 4 = 0 \Rightarrow t = 2$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada lo marca el numerador. Se hace un estudio de signos.

$\begin{cases} \text{Si } t = 1,\quad 2 - 4 = -2 < 0 \\ \text{Si } t = 3,\quad 6 - 4 = 2 > 0 \end{cases}$

La función decrece en $(0,2)$ y crece en $(2,+\infty)$, de modo que en $t = 2$ hay un mínimo.



$C(2) = 3 - \dfrac{1}{4 - 8 + 5} = 3 - 1 = 2$

La empresa deja de perder clientes a los $2$ años, y en ese momento tiene $2000$ clientes.

$\textbf{c) Calcule cuánto tiempo tendrá que pasar para que la empresa consiga tener de nuevo el mismo número de clientes que en el momento de iniciar el estudio. (1 punto)}$

Se iguala la función al valor inicial, que es $C(0) = 2{,}8$, y se resuelve la ecuación.

$3 - \dfrac{1}{t^2 - 4t + 5} = 2{,}8 \Rightarrow \dfrac{1}{t^2 - 4t + 5} = 0{,}2$

$t^2 - 4t + 5 = \dfrac{1}{0{,}2} = 5 \Rightarrow t^2 - 4t = 0 \Rightarrow t\,(t - 4) = 0$

$\begin{cases} t = 0 \\ t = 4 \end{cases}$

La solución $t = 0$ es el propio instante inicial, así que la que responde a la pregunta es la otra.

La empresa recupera los $2800$ clientes al cabo de $4$ años de haber iniciado el estudio.