Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un restaurante que acaba de abrir quiere poner anuncios en la radio y en la televisión locales durante una semana para darse a conocer y aumentar así el número de clientes. Tiene un presupuesto máximo de 18.000 euros. Cada anuncio en la radio cuesta 1.000 euros y el contrato prevé que como mínimo hay que hacer 3. Cada anuncio en la televisión cuesta 3.000 euros y, por disponibilidad de programación, se pueden hacer como máximo 4. Se estima que cada anuncio en la radio supone un incremento de 10 clientes para el restaurante y que cada anuncio en la televisión supone un incremento de 60 clientes.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) Calcule cuántos anuncios tendrá que poner en la radio y cuántos en la televisión para que el número de clientes nuevos sea máximo. ¿Cuántos clientes nuevos obtendrá? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de anuncios en la radio e $y$ al número de anuncios en la televisión. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Coste (€)}$	$\text{Clientes nuevos}$ Anuncios de radio (x)	1000x	10x Anuncios de televisión (y)	3000y	60y Totales	1000x + 3000y	10x + 60y

La función objetivo que queremos maximizar es el número de clientes nuevos:

$N(x,y) = 10x + 60y$

Las restricciones del problema son:

El presupuesto máximo es de 18.000 € $\Rightarrow$ $1000x + 3000y \le 18000$, que dividiendo entre 1.000 queda $x + 3y \le 18$.

El contrato obliga a hacer al menos 3 anuncios de radio $\Rightarrow$ $x \ge 3$.

En televisión se pueden hacer como máximo 4 $\Rightarrow$ $y \le 4$.

El número de anuncios no puede ser negativo $\Rightarrow$ $y \ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x + 3y \le 18 \\ x \ge 3 \\ 0 \le y \le 4 \end{cases}$

Para representar la región factible empezamos dibujando la recta del presupuesto:

$x + 3y = 18 \Rightarrow y = \dfrac{18 - x}{3}$

junto con las rectas $x = 3$ e $y = 4$. La región factible es la zona coloreada en azul.



$\textbf{b) Calcule cuántos anuncios tendrá que poner en la radio y cuántos en la televisión para que el número de clientes nuevos sea máximo. ¿Cuántos clientes nuevos obtendrá? (1,25 puntos)}$

Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases} x = 3 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow A(3,0)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases} \Rightarrow B(3,4)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x + 3y = 18 \\ y = 4 \end{cases} \Rightarrow x + 12 = 18 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow C(6,4)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} x + 3y = 18 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 18 \Rightarrow D(18,0)$

Valoramos la función $N(x,y) = 10x + 60y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$A(3,0) \Rightarrow N(3,0) = 30$

$B(3,4) \Rightarrow N(3,4) = 30 + 240 = 270$

$C(6,4) \Rightarrow N(6,4) = 60 + 240 = 300$

$D(18,0) \Rightarrow N(18,0) = 180$

El máximo de clientes nuevos se alcanza en el vértice $C(6,4)$. Comprobamos que se gasta todo el presupuesto:

$1000\cdot 6 + 3000\cdot 4 = 6000 + 12000 = 18000$

El restaurante ha de poner $6$ anuncios en la radio y $4$ en la televisión, con lo que ganará $300$ clientes nuevos.