Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

La tabla siguiente muestra los ingresos, en miles de euros, de una tienda que dispone de tres locales, durante los meses de enero, febrero y marzo de 2020.

$$	$\text{Enero}$	$\text{Febrero}$	$\text{Marzo}$ Local 1	13,5	13,2	4,2 Local 2	11	12,5	3,8 Local 3	15	14	2,7

Hemos recogido la información anterior en la matriz $A$, donde cada fila indica un local y cada columna el mes correspondiente:

$A = \begin{pmatrix} 13{,}5 & 13{,}2 & 4{,}2 \\ 11 & 12{,}5 & 3{,}8 \\ 15 & 14 & 2{,}7 \end{pmatrix}$

a) Considere los vectores $v = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $w = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Haga las operaciones $v \cdot A$ y $A \cdot w$. Interprete en cada caso el resultado obtenido. [1,25 puntos]

b) La matriz $B$ recoge los resultados del trimestre siguiente, es decir, los ingresos correspondientes a los meses de abril, mayo y junio de 2020:

$B = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 2 & 7 & 5 \\ 4 & 11 & x \end{pmatrix}$

Desconocemos el dato correspondiente al mes de junio del local 3, que hemos denominado $x$, pero sabemos que el rango de la matriz $B$ es 2. Encuentre el valor de $x$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Considere los vectores } \boldsymbol{v = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{w = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}\textbf{. Haga las operaciones } \boldsymbol{v \cdot A}\textbf{ y } \boldsymbol{A \cdot w}\textbf{. Interprete en cada caso el resultado obtenido. (1,25 puntos)}$

Multiplicar por la izquierda por una fila de unos suma los elementos de cada columna, y multiplicar por la derecha por una columna de unos suma los elementos de cada fila. Hagamos los dos productos.

$v\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 13{,}5 & 13{,}2 & 4{,}2 \\ 11 & 12{,}5 & 3{,}8 \\ 15 & 14 & 2{,}7 \end{pmatrix}$

$v\cdot A = \begin{pmatrix} 13{,}5 + 11 + 15 & 13{,}2 + 12{,}5 + 14 & 4{,}2 + 3{,}8 + 2{,}7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 39{,}5 & 39{,}7 & 10{,}7 \end{pmatrix}$

Cada elemento es la suma de una columna, es decir, los ingresos de los tres locales juntos en cada uno de los tres meses: 39.500 € en enero, 39.700 € en febrero y 10.700 € en marzo.

$A\cdot w = \begin{pmatrix} 13{,}5 & 13{,}2 & 4{,}2 \\ 11 & 12{,}5 & 3{,}8 \\ 15 & 14 & 2{,}7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30{,}9 \\ 27{,}3 \\ 31{,}7 \end{pmatrix}$

Ahora cada elemento es la suma de una fila, es decir, los ingresos del trimestre de cada local: 30.900 € el local 1, 27.300 € el local 2 y 31.700 € el local 3.

$\textbf{b) Sabemos que el rango de la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{ es 2. Encuentre el valor de } \boldsymbol{x}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Una matriz cuadrada de orden 3 tiene rango 3 si su determinante es distinto de cero, de manera que para que el rango sea 2 el determinante ha de anularse. Calculamos el determinante por la regla de Sarrus.

$|B| = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 2 & 7 & 5 \\ 4 & 11 & x \end{vmatrix}$

$|B| = 2\cdot 7\cdot x + 6\cdot 5\cdot 4 + 4\cdot 2\cdot 11 - 4\cdot 7\cdot 4 - 6\cdot 2\cdot x - 2\cdot 5\cdot 11$

$|B| = 14x + 120 + 88 - 112 - 12x - 110 = 2x - 14$

$2x - 14 = 0 \Rightarrow x = 7$

Falta comprobar que con ese valor el rango es exactamente 2, y no menor. Basta encontrar un menor de orden 2 no nulo:

$\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = 14 - 12 = 2 \neq 0$

El valor buscado es $x = 7$, es decir, en junio el local 3 ingresó $7000$ €.