Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Considere la función real de variable real $f(x) = 4x^3 + ax^2 - 2$.

a) Determine el valor del parámetro real $a$ para que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = -1$. [1,25 puntos]

b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ cuando $a = 12$. Indique también los puntos en los que hay extremos relativos y clasifíquelos. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine el valor del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = -1}\textbf{. (1,25 puntos)}$

En un extremo relativo la derivada de la función se anula, así que se deriva y se impone esa condición en el punto indicado.

$f'(x) = 12x^2 + 2ax$

$f'(-1) = 0 \Rightarrow 12(-1)^2 + 2a(-1) = 0$

$12 - 2a = 0 \Rightarrow a = 6$

Comprobamos que con ese valor hay realmente un extremo, y no un punto de inflexión con tangente horizontal:

$f''(x) = 24x + 12 \Rightarrow f''(-1) = -24 + 12 = -12 < 0$

Para $a = 6$ la función tiene un extremo relativo en $x = -1$, y se trata de un máximo.

$\textbf{b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ cuando } \boldsymbol{a = 12}\textbf{. Indique también los puntos en los que hay extremos relativos y clasifíquelos. (1,25 puntos)}$

Con $a = 12$ la función y su derivada son:

$f(x) = 4x^3 + 12x^2 - 2$

$f'(x) = 12x^2 + 24x = 12x\,(x + 2)$

$f'(x) = 0 \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = -2 \end{cases}$

Se hace un estudio de signos de la derivada tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\begin{cases} \text{Si } x = -3,\quad f'(-3) = 108 - 72 = 36 > 0 \\ \text{Si } x = -1,\quad f'(-1) = 12 - 24 = -12 < 0 \\ \text{Si } x = 1,\quad f'(1) = 12 + 24 = 36 > 0 \end{cases}$

La función crece en $(-\infty,-2)$, decrece en $(-2,0)$ y vuelve a crecer en $(0,+\infty)$.



En $x = -2$ la función pasa de crecer a decrecer, de modo que hay un máximo relativo; en $x = 0$ pasa de decrecer a crecer, de modo que hay un mínimo relativo. Calculamos las ordenadas.

$f(-2) = 4(-8) + 12\cdot 4 - 2 = -32 + 48 - 2 = 14$

$f(0) = -2$

La función crece en $(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)$ y decrece en $(-2,0)$. Presenta un máximo relativo en el punto $(-2,14)$ y un mínimo relativo en el punto $(0,-2)$.