Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Encuentre la expresión general de $A^n$. Demuestre que la inversa de $A^n$ es $\begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. [1,25 puntos]

b) Encuentre la matriz $X$ que satisface la ecuación matricial $A^{10} \cdot X - A^{20} = A$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Encuentre la expresión general de } \boldsymbol{A^n}\textbf{. Demuestre que la inversa de } \boldsymbol{A^n}\textbf{ es } \boldsymbol{\begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Calculamos las primeras potencias para descubrir la pauta.

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Todo apunta a que la potencia $n$-ésima lleva el propio exponente en la esquina superior derecha:

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Lo comprobamos por inducción. La fórmula vale para $n = 1$, y suponiendo que vale para $n$:

$A^{n+1} = A^n\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Para demostrar cuál es la inversa basta multiplicar las dos matrices y comprobar que sale la identidad, que es la definición de matriz inversa.

$\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -n + n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

Por tanto, $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y su inversa es $(A^n)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

$\textbf{b) Encuentre la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que satisface la ecuación matricial } \boldsymbol{A^{10} \cdot X - A^{20} = A}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa de $A^{10}$, que ya conocemos del apartado anterior.

$A^{10}\cdot X = A + A^{20} \Rightarrow X = (A^{10})^{-1}\,(A + A^{20})$

Escribimos las tres matrices que intervienen:

$A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad A^{20} = \begin{pmatrix} 1 & 20 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad (A^{10})^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A + A^{20} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 20 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 21 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 1 & -10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 21 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 21 - 20 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$A^{10}\cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 21 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = A + A^{20}$

La matriz buscada es $X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.