Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una fiesta familiar se han reunido 20 personas. Si contamos el total de hombres y mujeres juntos, observamos que hay el triple que de niños. Además, sabemos que, si hubiese asistido una mujer más, el número de mujeres habría sido igual que el número de hombres.

a) Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos hombres, cuántas mujeres y cuántos niños asistieron a la fiesta. [0,75 puntos]

b) Resuelva el sistema del apartado anterior e interprete el resultado. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos hombres, cuántas mujeres y cuántos niños asistieron a la fiesta. (0,75 puntos)}$

Llamamos $h$ al número de hombres, $d$ al de mujeres y $n$ al de niños. Traducimos a ecuaciones los tres datos del enunciado.

En la fiesta hay 20 personas en total:

$h + d + n = 20$

Hombres y mujeres juntos triplican el número de niños:

$h + d = 3n$

Con una mujer más habría tantas mujeres como hombres:

$d + 1 = h$

El sistema que recoge toda la información es:

$\begin{cases} h + d + n = 20 \\ h + d - 3n = 0 \\ h - d = 1 \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelva el sistema del apartado anterior e interprete el resultado. (1,75 puntos)}$

Sustituimos la segunda ecuación en la primera, porque $h + d$ aparece como bloque en las dos.

$3n + n = 20 \Rightarrow 4n = 20 \Rightarrow n = 5$

Con el número de niños se obtiene el total de adultos:

$h + d = 3\cdot 5 = 15$

Y ahora se combina con la tercera ecuación. Sustituyendo $h = d + 1$:

$(d + 1) + d = 15 \Rightarrow 2d = 14 \Rightarrow d = 7 \Rightarrow h = 8$

Comprobamos que la solución cumple las tres condiciones:

$8 + 7 + 5 = 20,\qquad 8 + 7 = 15 = 3\cdot 5,\qquad 7 + 1 = 8$

El sistema es compatible determinado y su única solución es $h = 8$, $d = 7$, $n = 5$: a la fiesta asistieron $8$ hombres, $7$ mujeres y $5$ niños.